W czworokącie ABCD długości boków AD i DC są równe. Wykaż, że jeśli przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku A lub przy wierzchołku C, to czworokąt ABCD jest trapezem.

Rozwiązanie:

Wiemy, że przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku A, zatem prosta DC jest prostopadła do prostej DA.

image001

Widzimy, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem kąty przy podstawie AC mają równe miary.

image002

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi image003, zatem:

image004

image005

image006

image007

Widzimy, że kąt DAB ma miarę image008, zatem:

image009

Widzimy, że prosta DC jest prostopadła do prostej DA, a prosta DA jest prostopadła do prostej AB, zatem prosta DC jest równoległa do prostej AB.

Czworokąt ABCD jest trapezem (ma co najmniej jedną parę boków równoległych).