Postać ogólna funkcji kwadratowej:

image001, gdzie image002 to współczynniki funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image003, gdzie image004 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Przykład 1.

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej image005. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

image005

image006

image007

image008

image009

Przykład 2.

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image010. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Twierdzenie 1.

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image001, gdzie image016, można przekształcić do postaci kanonicznej image003, gdzie

image017

image018 nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej i opisujemy wzorem:

image019

Przykład 3.

Zapisz wzór funkcji kwadratowej image020 w postaci kanonicznej.

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

image020

image021

image022

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image019

image029

image030

image031

image032

image033

image034

image035

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image003

image036

image037

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej.

a) image001

b) image002

c) image003

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Sprowadź ten wzór do postaci kanonicznej w sposób przedstawiony w przykładzie 2.

a) image001

b) image002

c) image003

Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej f, jeśli:

a) image001

b) image002

c) image003

Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f, stosując poznane wzory. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.

a) image001

b) image002

c) image003

Oblicz współczynnik b we wzorze funkcji kwadratowej f, wiedząc, że prosta k jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.

a) image001

b) image002

c) image003

Dany jest wierzchołek W paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej image001, i wyróżnik tej funkcji. Wyznacz współczynniki a, b, c.

a) image002

b) image003

c) image004

Oblicz współczynnik a we wzorze funkcji kwadratowej f oraz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY, jeśli:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej image004, gdzie image005 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

image006

image007

Wiemy, że wyróżnik funkcji kwadratowej opisujemy wzorem:

image008

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej f przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image009.

a) image001

image001

image004

image011

image012

image013

Wyznaczamy, współczynnik a, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image013

image014

image015

image016

Wyznaczamy, współczynnik b, korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image012

image017

image018

image019

image020

Wyznaczamy, współczynnik c, korzystając z wyróżnika funkcji kwadratowej:

image008

image021

image022

image023

image024

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image025

b) image002

image002

image004

image026

image027

image028

Wyznaczamy, współczynnik a, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image028

image029

image030

image031

Wyznaczamy, współczynnik b, korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image027

image032

image033

image034

image035

Wyznaczamy, współczynnik c, korzystając z wyróżnika funkcji kwadratowej:

image008

image036

image037

image038

image039

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image040

c) image003

image003

image004

image041

image042

image043

Wyznaczamy, współczynnik a, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image043

image044

image045

image046

image047

Wyznaczamy, współczynnik b, korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image042

image048

image049

image050

image051

Wyznaczamy, współczynnik c, korzystając z wyróżnika funkcji kwadratowej:

image008

image052

image053

image054

image055

image056

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image057

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Podaj przedziały monotoniczności funkcji f. Oblicz współrzędne punktu wspólnego paraboli będącej wykresem funkcji f z osią OY i punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli. Naszkicuj wykres funkcji f.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli współczynnik funkcji kwadratowej image007 ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast, jeśli image008 ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej f przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image009.

Wiemy, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem image010.

a) image001

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image001

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017

image018

image019

image020

image021

image022

image023

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image025

image026

image027

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że image028 image029, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne image030. Otrzymujemy:

Funkcja malejąca:

image031

Funkcja rosnąca:

image032

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image033

image034

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image015

image035

zatem

image034

image035

image036

image037

b) image002

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image002

image038

image012

image039

image040

image041

image016

image017

image042

image043

image044

image045

image046

image047

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image048

image049

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że image050 image051, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne image052. Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

image053

Funkcja malejąca:

image054

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image055

image056

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image041

image057

zatem

image056

image057

image058

image059

c) image003

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image003

image060

image012

image061

image062

image063

image064

image016

image017

image065

image066

image067

image068

image069

image070

image071

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image072

image073

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  image028 image029, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne image076. Otrzymujemy:

Funkcja malejąca:

image077

Funkcja rosnąca:

image078

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image079

image080

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image064

image081

zatem

image080

image081

image082

image083

d) image004

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image004

image084

image012

image085

image086

image087


image088

image016

image017

image089

image090

image091

image092

image093

image094

image095

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image096 

image097

image098

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że image099 image051, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne image100. Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

image101

Funkcja malejąca:

image102 

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image103

image104 

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image088

image105

zatem

image104

image105

image106

image107 

e) image005

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image005

image108 

image012

image109

image110

image111

image112

image016

image017

image113

image114

image115

image116

image117

image118

image119

image120

image121

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image122

image123

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że image124 image029, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne image125. Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

image126

Funkcja malejąca:

image127

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image128

image129

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image129image130

zatem

image129

image130
image131

image132

f) image006

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image006

image133

image012

image134

image135 

image136 

image016

image017

image137 

image138 

image139 

image140 

image141 

image023

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image024

image142 

image143 

image144 

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że image145 image051, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne image146. Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

image147

Funkcja malejąca:

image148

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

image009

image149

image150

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

image010

image136

image151

zatem

image150

image151

image152

image153