Przykład 1.

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej image001.

Miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 0, zatem są to liczby spełniające równanie:

image002

image003

image004

image005

image006

image007

image008

image009

Funkcja image001 ma dwa miejsca zerowe: image007 i image009.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej image010, gdzie image011, jest równa liczbie punktów wspólnych wykresu tej funkcji i osi OX.

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera image012 wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.

image013

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera image014 wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu. Wyróżniamy wówczas trzy przypadki: brak miejsc zerowych, jedno miejsce zerowe i dwa miejsca zerowe.

image015

Znak wyróżnika image016 zależy od znaku iloczynu image017.

Jeśli:

image018

image019

image020

Twierdzenie 1.

Funkcja kwadratowa image021, gdzie image011 oraz image022:

- nie ma miejsc zerowych, wtedy i tylko wtedy, gdy image023,

- ma jedno miejsce zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy image024,

- ma dwa miejsca zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy image025.

Twierdzenie 2.

Funkcja kwadratowa image021, gdzie image011 oraz image022:

- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy image023,

- ma jedno miejsce zerowe

image026

 wtedy i tylko wtedy, gdy image024,

- ma dwa miejsca zerowe

image027

 wtedy i tylko wtedy, gdy image025.

Przykład 2.

Wyznacz miejsca zerowe podanych funkcji:

a) image028

image029

image022

image030

image031

image032

Wniosek:

image023, brak miejsc zerowych.

b) image033

image034

image022

image035

image036

image024

Wniosek:

image024, jedno miejsce zerowe:

image026

image037

image038

image039

c) image040

image041

image022

image042

image043

image044

Wniosek:

image025, dwa miejsca zerowe:

image027

image045

image046

image047

image048

Jeśli image049, wówczas wzór funkcji kwadratowej image021, gdzie image011 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image050

image051

Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych image052 wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.

Przykład 3.

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej image053. Przedstaw wzór tej funkcji w postaci iloczynowej i wyznacza miejsca zerowe funkcji f.

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

image053

image054

image055

image056

image057

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image057

image058

image022

image059

image060

image061

image025, wyznaczamy dwa miejsca zerowe:

image027

image062

image063

image064

image065

image066

Przedstawiamy funkcję w postaci iloczynowej:

image067

image068

image069

Przykład 4.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Korzystając z danych na rysunku zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

image070

Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:

image071

Odczytujemy z wykresu współrzędne punktu A:

image072
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej:

image067

image073

image074

image075

image076

image077

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image067

image078

image079

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

image079

image080

image081

image082

image083

Oceń na podstawie wartości wyróżnika, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

a) image001

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image001

image004

image005

image006

image007

image008

Wniosek:

image009, dwa miejsca zerowe.

b) image002

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image002

image010

image005

image011

image012

image013

Wniosek:

image009, dwa miejsca zerowe.

c) image003

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image003

image014

image005

image015

image016

image017

Wniosek:

image017, jedno miejsce zerowe.

Oceń na podstawie wartości a i q, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej image004image005 gdzie to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wiemy, że znak wyróżnika image006 zależy od znaku iloczynu image007. Jeśli:

image008

image009

image010

a) image001

image004

image011

image012

Wniosek:

image013, dwa miejsca zerowe.

b) image002

image004

image014

image015

Wniosek:

image016, brak miejsc zerowych.

c) image003

image004

image017

image018

Wniosek:

image019, jedno miejsce zerowe.

Wyznacz miejsca zerowe, o ile istnieją, funkcji kwadratowej:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

a) image001

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image001

image004

image005

image006

image007

image008

Wniosek:

image009, dwa miejsca zerowe:

image010

image011

image012

image013

image014

b) image002

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image002

image015

image005

image016

image017

image018

Wniosek:

image009, dwa miejsca zerowe:

image010

image019

image020

image021

image022

c) image003

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image003

image023

image005

image024

image025

image026

Wniosek:

image027, brak miejsc zerowych.

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej podaj miejsca zerowe tej funkcji:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że 

image004

image005

a) image001

image001

image006

image007

image008

b) image002

image002

image009

image010

image011

c) image003

image003

image006

image012

image013

Dany jest współczynnik a i miejsce zerowe funkcji kwadratowej image001. Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.

a) image002

b) image003

c) image004

Rozwiązanie:

Wiemy, że 

image005

image006

a) image002

image002

image007

image008

image009

b) image003

image003

image010

image011

c) image004

image004

image007

image012

image013

Dany jest wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci ogólnej, jeśli:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

a) image001

image001

image004

image005

image006

b) image002

image002

image007

c) image003

image003

image008

image009

image010

image011

image012

Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, o ile istnieje, jeśli:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli image004, wówczas wzór funkcji kwadratowej image005, gdzieimage006 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image007

image008

Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych image009 wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.

Wiemy, że wyróżnik funkcji kwadratowej opisujemy wzorem:

image010

a) image001

image001

image011

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image010

image012

image013

image014

Obliczamy miejsca zerowe funkcji:

image015

image016

image017

image018

image019

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

image020

image021

image022

image023

b) image002

image002

image024

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image010

image025

image026

image027

Obliczamy miejsca zerowe funkcji:

image015

image028

image029

image030

image031

image032

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

image020

image033

image034

image035

c) image003

image003

image036

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image010

image037

image038

image039

Obliczamy miejsce zerowe funkcji:

image040

image041

image042

image043

image044

image045

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej:

image046

image047

image048

image049

Dany jest wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne:

image004

a) image001

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image001

image005

image006

image007

image008

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image009

image010

image011

image012

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image004

image013

image014

image015

image016

b) image002

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image002

image017

image018

image019

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image009

image020

image021

image022

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image004

image023

image024

image025

image026

c) image003

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image003

image027

image028

image029

image030

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image009

image031

image032

image033

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image004

image034

image035

image036

image037

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Podaj wzór funkcji f w postaci kanonicznej.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image007, gdzie image008, można przekształcić do postaci kanonicznej image007, gdzie 

image010

a) image001

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image001

image011

image012

image013

image014

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image016

image017

image018

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image021

image022

image023

image024

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image025

image026

b) image002

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image002

image027

image028

image029

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image030

image031

image032

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image033

image034

image035

image036

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image037

image038

c) image003

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image003

image039

image040

image041

image042

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image043

image044

image045

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image046

image047

image048

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image050

image051

image052

d) image004

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image004

image053

image054

image055

image056

image057

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image058

image059

image060

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image061

image062

image063

image064

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image065

image066

image067

e) image005

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image005

image068

image069

image070

image071

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image072

image073

image060

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image074

image075

image076

image077

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image078

image079

image080

f) image006

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image006

image081

image082

image083

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej:

image015

image084

image085

image086

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

image019

image020

image087

image088

image089

image090

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

image007

image091

image092

image093

Dany jest wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Podaj wzór funkcji f w postaci iloczynowej, o ile istnieje – bez wyznaczania wzoru funkcji f w postaci ogólnej.

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązanie:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image004, gdzieimage005, można przekształcić do postaci kanonicznej image006, gdzie

image007

Wiemy, że jeśli image008, wówczas wzór funkcji kwadratowej image004, gdzie image005 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image009

image010

Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych image011 wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.

a) image001

image001

image012

image013

image014

Obliczamy współczynnik b korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image015

image016

image017

image018

image019

Obliczamy wyróżnik, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image020

image021

image022

image023

image024

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

image025

image026

image027

image028

image029

image030

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image031

image032

image033

image034

b) image002

image002

image012

image035

Obliczamy współczynnik b korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image015

image036

image037

image038

image039

Obliczamy wyróżnik, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image020

image040

image041

image042

image043

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

image025

image044

image045

image046

image047

image048

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image031

image049

image050

image051

c) image003

image003

image012

image052

Obliczamy współczynnik b korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image015

image053

image054

image055

image056

Obliczamy wyróżnik, korzystając z drugiej współrzędnej wierzchołka:

image020

image057

image058

image059

image060

image061, brak miejsc zerowych.

Wiemy, że jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych image011 wówczas nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.