Szczegóły

Odsłony: 78

Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g. Następnie rozwiąż graficznie podaną obok wzorów nierówność.

a) 

b) 

Rozwiązanie:

a) 

Funkcja f:

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

zatem nie mamy miejsc zerowych.

Aby naszkicować wykres funkcji f musimy wyznaczyć jeszcze dwa punkty należące do jej wykresu:

Funkcja g:

Zauważamy, że wykresem funkcji g jest prosta. Aby naszkicować wykres funkcji g musimy wyznaczyć dwa punkty należące do jej wykresu:

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

b) 

Funkcja f:

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

zatem funkcja f ma jedno miejsce zerowe:

Funkcja g:

Zauważamy, że funkcja g jest podana w postaci iloczynowej. Przekształcamy wzór funkcji g do postaci ogólnej:

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

Szczegóły

Odsłony: 84

Na podstawie szkicu wykresu funkcji kwadratowej  w układzie współrzędnych, ustal znaki współczynników a, b, c i wyróżnika funkcji.

a)  b)  c)  d) 

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera  wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera  wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie o współrzędnych .

Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Wiemy, że znak wyróżnika  zależy od znaku iloczynu .

Jeśli:

a) 

Ramiona skierowane do góry, zatem:

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:

Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

b) 

Ramiona skierowane do dołu, zatem:

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:

Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

c) 

Ramiona skierowane do góry, zatem:

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:

Druga współrzędna wierzchołka jest równa zero, zatem:

d) 

Ramiona skierowane do dołu, zatem:

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:

Druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:

Szczegóły

Odsłony: 60

Naszkicuj wykres funkcji f i omów własności tej funkcji, jeśli:

a) 

b) 

Rozwiązanie:

a) 

Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału :

Obliczamy wartość funkcji dla :

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:

Omawiamy własności funkcji f:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości funkcji:

Miejsca zerowe funkcji:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

- funkcja rosnąca w przedziale:

Wartość najmniejsza:

 dla argumentu 

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

b) 

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

Zauważamy, że miejsce zerowe pokrywa się z wierzchołkiem.

Obliczamy wartość funkcji dla :

Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału :

Wyznaczamy miejsce zerowe:

Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:

Omawiamy własności funkcji f:

Dziedzina funkcji:

Zbiór wartości funkcji:

Miejsca zerowe funkcji:

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

Monotoniczność funkcji:

- funkcja rosnąca w przedziale:

- funkcja malejąca w przedziale:

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.