- Szczegóły
- Odsłony: 210
Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów własności tej funkcji.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Rozwiązanie:
a)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość najmniejsza:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
b)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość największa:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
c)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy jedno miejsce zerowe:
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja nie przyjmuje wartości dodatnich.
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość największa:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
d)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość największa:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
e)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem nie mamy miejsc zerowych.
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
brak
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość najmniejsza:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
f)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Aby zaznaczyć miejsca zerowe musimy określić ich przybliżone wartości. Wiemy, że , zatem:
Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:
Omawiamy własności funkcji:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość najmniejsza:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
- Szczegóły
- Odsłony: 78
Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g. Następnie rozwiąż graficznie podaną obok wzorów nierówność.
a)
b)
Rozwiązanie:
a)
Funkcja f:
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem nie mamy miejsc zerowych.
Aby naszkicować wykres funkcji f musimy wyznaczyć jeszcze dwa punkty należące do jej wykresu:
Funkcja g:
Zauważamy, że wykresem funkcji g jest prosta. Aby naszkicować wykres funkcji g musimy wyznaczyć dwa punkty należące do jej wykresu:
Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:
Odczytujemy rozwiązanie nierówności:
b)
Funkcja f:
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem funkcja f ma jedno miejsce zerowe:
Funkcja g:
Zauważamy, że funkcja g jest podana w postaci iloczynowej. Przekształcamy wzór funkcji g do postaci ogólnej:
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:
Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:
Odczytujemy rozwiązanie nierówności:
- Szczegóły
- Odsłony: 84
Na podstawie szkicu wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych, ustal znaki współczynników a, b, c i wyróżnika funkcji.
a) b)
c)
d)
Rozwiązanie:
Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry.
Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu.
Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie o współrzędnych .
Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne:
Wiemy, że znak wyróżnika zależy od znaku iloczynu
.
Jeśli:
a)
Ramiona skierowane do góry, zatem:
Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:
Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:
Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:
b)
Ramiona skierowane do dołu, zatem:
Pierwsza współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:
Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:
Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:
c)
Ramiona skierowane do góry, zatem:
Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:
Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:
Druga współrzędna wierzchołka jest równa zero, zatem:
d)
Ramiona skierowane do dołu, zatem:
Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:
Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:
Druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:
- Szczegóły
- Odsłony: 60
Naszkicuj wykres funkcji f i omów własności tej funkcji, jeśli:
a)
b)
Rozwiązanie:
a)
Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału :
Obliczamy wartość funkcji dla :
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:
zatem mamy dwa miejsca zerowe:
Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:
Omawiamy własności funkcji f:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja malejąca w przedziale:
- funkcja rosnąca w przedziale:
Wartość najmniejsza:
dla argumentu
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
b)
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:
Zauważamy, że miejsce zerowe pokrywa się z wierzchołkiem.
Obliczamy wartość funkcji dla :
Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału :
Wyznaczamy miejsce zerowe:
Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:
Omawiamy własności funkcji f:
Dziedzina funkcji:
Zbiór wartości funkcji:
Miejsca zerowe funkcji:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
Monotoniczność funkcji:
- funkcja rosnąca w przedziale:
- funkcja malejąca w przedziale:
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
Funkcja nie przyjmuje wartości największej.