Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f i omów własności tej funkcji.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

image007

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image017

image018

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image012

image019

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image020

image021

image022

image023

image024

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image025

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image027

Miejsca zerowe funkcji:

image024

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image028

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image029

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image030

- funkcja rosnąca w przedziale:

image031

Wartość najmniejsza:

image032 dla argumentu image033

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

b) image002

image034

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image035

image036

image037

image038

image039

image040

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image041

image042

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image037

image019

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image020

image043

image044

image045

image046

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image047

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image048

Miejsca zerowe funkcji:

image046

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image050

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image051

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image052

- funkcja rosnąca w przedziale:

image053

Wartość największa:

image054 dla argumentu image055

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

c) image003

image056

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image057

image058

image059

image060

image061

image062

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image017

image018

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image059

zatem mamy jedno miejsce zerowe:

image063

image064

image065

image066

image067

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image068

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image069

Miejsca zerowe funkcji:

image067

Funkcja nie przyjmuje wartości dodatnich.

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image070

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image071

- funkcja rosnąca w przedziale:

image072

Wartość największa:

image073 dla argumentu image073

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

d) image004

 image075

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image076 

image077 

image078 

image079 

image080 

image081

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image082

image083

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image078

image019

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image020

image084

image085

image086

image087

image088

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image089

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image090

Miejsca zerowe funkcji:

image088

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image092

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image093

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image094

- funkcja rosnąca w przedziale:

image095

Wartość największa:

image096 dla argumentu image097

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

e) image005

image098

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image099

image100

image101

image102

image103

image104

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image105

image106

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image101

image107

zatem nie mamy miejsc zerowych.

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image108

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image109

Miejsca zerowe funkcji:

brak

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image110

Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image111

- funkcja rosnąca w przedziale:

image112

Wartość najmniejsza:

image113 dla argumentu image114

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

f) image006

image115

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image008

image009

image116

image117

image118

image119

image120

image121

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image016

image122

image123

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image118

image019

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image020

image124

image125

image126

image127

image128

image129

Aby zaznaczyć miejsca zerowe musimy określić ich przybliżone wartości. Wiemy, że image130, zatem:

image131

image132

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy wykres funkcji:

image133

Omawiamy własności funkcji:

Dziedzina funkcji:

image026

Zbiór wartości funkcji:

image134

Miejsca zerowe funkcji:

image129

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image135

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image136

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image137

- funkcja rosnąca w przedziale:

image138

Wartość najmniejsza:

image139 dla argumentu image140

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g. Następnie rozwiąż graficznie podaną obok wzorów nierówność.

a) image001

b) image002

Rozwiązanie:

a) image001

Funkcja f:

image003

image004

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image005

image006

image007

image008

image009

image010

image011

image012

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image013

image014

image015

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image009

image016

zatem nie mamy miejsc zerowych.

Aby naszkicować wykres funkcji f musimy wyznaczyć jeszcze dwa punkty należące do jej wykresu:

image003

image012

image017

image018

Funkcja g:

image019

Zauważamy, że wykresem funkcji g jest prosta. Aby naszkicować wykres funkcji g musimy wyznaczyć dwa punkty należące do jej wykresu:

image020

image021

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:

image022

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

image023

image024

b) image002

Funkcja f:

image025

image026

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image005

image006

image027

image028

image029

image030

image031

image032

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image013

image033

image034

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image029

zatem funkcja f ma jedno miejsce zerowe:

image035

image036

Funkcja g:

image037

Zauważamy, że funkcja g jest podana w postaci iloczynowej. Przekształcamy wzór funkcji g do postaci ogólnej:

image038

image039

image040

image041

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W paraboli:

image005

image006

image042

image043

image044

image045

image046

image047

Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY:

image013

image033

image034

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image044

image048

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image049

image050

image051

image052

image053

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych:

image054

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

image055

image056

Na podstawie szkicu wykresu funkcji kwadratowej image001 w układzie współrzędnych, ustal znaki współczynników a, b, c i wyróżnika funkcji.

a) image002 b) image003 c) image004 d) image005

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest większy od zera image006 wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wiemy, że jeśli współczynnik a funkcji kwadratowej jest mniejszy od zera image007 wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image008.

Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne:

image009

image010

Wiemy, że znak wyróżnika image011 zależy od znaku iloczynu image012.

Jeśli:

image013

image014

image015

a) image002

Ramiona skierowane do góry, zatem:

image016

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

image017

image018

image019

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:

image020

Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

image021

image016

image015

b) image003

Ramiona skierowane do dołu, zatem:

image022

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:

image023

image018

image019

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się poniżej osi OX, zatem:

image020

Druga współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

image021

image022

image013

c) image004

Ramiona skierowane do góry, zatem:

 image016

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

 image017

 

image018

image019

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:

 image024

Druga współrzędna wierzchołka jest równa zero, zatem:

 image025image016

 image014

d) image005

Ramiona skierowane do dołu, zatem:

 image022

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest ujemna, zatem:

 image017

 image026
image027

Punkt przecięcia wykresu z osią OY znajduje się powyżej osi OX, zatem:

 image024

Druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia, zatem:

 image028image022image015

Naszkicuj wykres funkcji f i omów własności tej funkcji, jeśli:

a) image001

b) image002

Rozwiązanie:

a) image001

Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału image003:

image004

image005

image006

Obliczamy wartość funkcji dla image007:

image008

image009

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

image008

image010

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017

image018

Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wiemy, że:

image015

image019

zatem mamy dwa miejsca zerowe:

image020

image021

image022

image023

image024

image025

Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:

image026

Omawiamy własności funkcji f:

Dziedzina funkcji:

image027

Zbiór wartości funkcji:

image028

Miejsca zerowe funkcji:

image025

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image029

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image030

Monotoniczność funkcji:

- funkcja malejąca w przedziale:

image031

- funkcja rosnąca w przedziale:

image032

Wartość najmniejsza:

image033 dla argumentu image034

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

b) image002

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

image035

image036

image011

image012

image037

image038

image039

image040

image041

image042

Zauważamy, że miejsce zerowe pokrywa się z wierzchołkiem.

Obliczamy wartość funkcji dla image034:

image035

image043

Wyznaczamy dwa punkty należące do przedziału image044:

image045

image046

image047

Wyznaczamy miejsce zerowe:

image048

image049

image050

image051

image052

image053

Szkicujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych:

image054

Omawiamy własności funkcji f:

Dziedzina funkcji:

image027

Zbiór wartości funkcji:

image055

Miejsca zerowe funkcji:

image056

Funkcja przyjmuje wartości ujemne:

image057

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

image058

Monotoniczność funkcji:

- funkcja rosnąca w przedziale:

image059

- funkcja malejąca w przedziale:

image060

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.