Szczegóły

Odsłony: 49

Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6.

Rozwiązanie:

Wiemy, że , zatem współczynnik . Widzimy, że , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Wiemy, miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6, zatem:

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

Odczytujemy współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej:

Szczegóły

Odsłony: 32

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że dla argumentu 8 przyjmuje ona największą wartość, równą 1, a do wykresu tej funkcji należy punkt .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu  oraz współrzędne wierzchołka to .

Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej , gdzie to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 37

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 10 i -2, a jej wykres przecina oś OY w punkcie .

Rozwiązanie:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:

Wiemy, że miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby 10 i -2, zatem:

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie , zatem:

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Szczegóły

Odsłony: 37

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że ma ona tylko jedno miejsce zerowe oraz .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma jedno miejsce zerowe:

Wiemy, że na osi liczbowej OX liczba  jest równoodległa od liczb -6 i 4, zatem:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:

Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych

Otrzymujemy:

Przekształcamy wór funkcji kwadratowej f do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 34

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że jej zbiorem wartości jest przedział , do jej wykresu należy punkt , a średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2.

Rozwiązanie:

Wiemy, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział , zatem:

- funkcja przyjmuje wartość największą równą 6,

- ramiona paraboli skierowane są do dołu ,

- funkcja ma dwa miejsca zerowe .

Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej należy punkt .

Wiemy, że średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2, zatem osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu  (czyli pierwsza współrzędna wierzchołka).

Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej , gdzie to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 36

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że do wykresu funkcji f należy punkt  oraz .

Rozwiązanie:

Uwaga: w założeniu zadania jest błąd, dla x=-1 funkcja nie może przyjąć wartości dodatniej 14, ponieważ . Rozwiążemy zadanie bez tego założenia.

Wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt .

Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Szczegóły

Odsłony: 27

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -32 oraz .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -32, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry 

- druga współrzędna wierzchołka wynosi -32

- funkcja ma dwa miejsca zerowe 

Wiemy, że , zatem funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli (pierwsza współrzędna wierzchołka):

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 22

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że , a wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie .

Rozwiązanie:

Wiemy, że , zatem:

- funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe , wynika stąd, że ,

- ramiona paraboli skierowane są do dołu 

Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie , zatem:

Wiemy, że jeśli , wówczas wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:

Wyznaczamy współczynnik a:

Wyznaczamy współczynnik b:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 31

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej , osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu , a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba -9.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej , osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu , zatem:

Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu -4, zatem:

Wiemy, że jeśli , wówczas wzór funkcji kwadratowej , gdzie można przedstawić w postaci iloczynowej:

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

Szczegóły

Odsłony: 19

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, jeśli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to , jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt .

Rozwiązanie:

Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to , zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry ,

- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.

Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt .

Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu 3, zatem:

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Otrzymujemy:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Szczegóły

Odsłony: 19

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -4, a prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje najmniejszą wartość równą -4, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry 

- druga współrzędna wierzchołka jest równa -4.

Wiemy, że prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5, zatem:

- do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych  i .

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że oś symetrii będzie przebiegała po środku między punktami 1 i 5 na osi OX, zatem:

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 36

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to , a do wykresu funkcji f należy punkt .

Rozwiązanie:

Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to , zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry 

- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. Wiemy, że będą one równoodległe od punktu 3 na osi OX oraz że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, zatem:

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Szczegóły

Odsłony: 24

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zbiorem wartości funkcji f jest przedział  oraz .

Rozwiązanie:

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zatem:

Wiemy, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział , zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu 

- druga współrzędna wierzchołka jest równa 1.

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Wiemy, że , zatem do wykresu funkcji f należy punkt o współrzędnych:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:

Wniosek:

, dwa miejsca zerowe:

Zapisujmy wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej:

Szczegóły

Odsłony: 19

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona największą wartość równą 4 oraz .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja f przyjmuje ona największą wartość równą 4, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu 

- druga współrzędna wierzchołka jest równa 4.

Wiemy, że , zatem:

- do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych  i .

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli:

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Otrzymujemy:

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

Szczegóły

Odsłony: 18

Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5.

Rozwiązanie:

Wiemy, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu 

- mamy podaną współrzędną wierzchołka:

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej  z osią OY ma współrzędne:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:

Szczegóły

Odsłony: 18

Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że suma miejsc zerowych funkcji f jest równa -4, a rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8.

Rozwiązanie:

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej  z osią OY ma współrzędne:

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -4, zatem:

Wiemy, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8, zatem:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie, można przekształcić do postaci kanonicznej , gdzie

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:

Szczegóły

Odsłony: 19

Wyznacz wartości współczynników b i c we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, zatem:

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej  z osią OY ma współrzędne:

Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie , zatem:

Wyznaczamy współczynnik b we wzorze funkcji kwadratowej f: