- Szczegóły
- Odsłony: 29
Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu
oraz punkt
należy do tej paraboli.
Rozwiązanie:
Wiemy, że , zatem współczynnik
.
Wiemy, że wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne:
Wiemy, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu . Wyznaczamy współczynnik b korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:
Wyznaczamy współczynnik c funkcji kwadratowej. Wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt , zatem:
- Szczegóły
- Odsłony: 49
Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6.
Rozwiązanie:
Wiemy, że , zatem współczynnik
. Widzimy, że
, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.
Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Wiemy, miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6, zatem:
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:
Odczytujemy współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej:
- Szczegóły
- Odsłony: 32
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że dla argumentu 8 przyjmuje ona największą wartość, równą 1, a do wykresu tej funkcji należy punkt .
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz współrzędne wierzchołka to
.
Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej , gdzie
to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 37
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 10 i -2, a jej wykres przecina oś OY w punkcie .
Rozwiązanie:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie
można przedstawić w postaci iloczynowej:
Wiemy, że miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby 10 i -2, zatem:
Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie , zatem:
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie,
można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:
- Szczegóły
- Odsłony: 37
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że ma ona tylko jedno miejsce zerowe oraz .
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma jedno miejsce zerowe:
Wiemy, że na osi liczbowej OX liczba jest równoodległa od liczb -6 i 4, zatem:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie
można przedstawić w postaci iloczynowej:
Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych
Otrzymujemy:
Przekształcamy wór funkcji kwadratowej f do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 34
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że jej zbiorem wartości jest przedział , do jej wykresu należy punkt
, a średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2.
Rozwiązanie:
Wiemy, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział , zatem:
- funkcja przyjmuje wartość największą równą 6,
- ramiona paraboli skierowane są do dołu ,
- funkcja ma dwa miejsca zerowe .
Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej należy punkt .
Wiemy, że średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2, zatem osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu (czyli pierwsza współrzędna wierzchołka).
Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej , gdzie
to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 36
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że do wykresu funkcji f należy punkt oraz
.
Rozwiązanie:
Uwaga: w założeniu zadania jest błąd, dla x=-1 funkcja nie może przyjąć wartości dodatniej 14, ponieważ . Rozwiążemy zadanie bez tego założenia.
Wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt .
Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej , gdzie
można przedstawić w postaci iloczynowej:
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie,
można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:
- Szczegóły
- Odsłony: 27
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -32 oraz .
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -32, zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do góry
- druga współrzędna wierzchołka wynosi -32
- funkcja ma dwa miejsca zerowe
Wiemy, że , zatem funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli (pierwsza współrzędna wierzchołka):
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 22
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że , a wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie
.
Rozwiązanie:
Wiemy, że , zatem:
- funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe , wynika stąd, że
,
- ramiona paraboli skierowane są do dołu
Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie , zatem:
Wiemy, że jeśli , wówczas wzór funkcji kwadratowej
, gdzie
można przedstawić w postaci iloczynowej:
Wyznaczamy współczynnik a:
Wyznaczamy współczynnik b:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 31
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej , osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu
, a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba -9.
Rozwiązanie:
Wiemy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej , osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu
, zatem:
Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu -4, zatem:
Wiemy, że jeśli , wówczas wzór funkcji kwadratowej
, gdzie
można przedstawić w postaci iloczynowej:
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:
- Szczegóły
- Odsłony: 19
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, jeśli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to , jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt
.
Rozwiązanie:
Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to , zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do góry ,
- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.
Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt .
Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu 3, zatem:
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:
Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Otrzymujemy:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:
- Szczegóły
- Odsłony: 19
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -4, a prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5.
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje najmniejszą wartość równą -4, zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do góry
- druga współrzędna wierzchołka jest równa -4.
Wiemy, że prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5, zatem:
- do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych i
.
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że oś symetrii będzie przebiegała po środku między punktami 1 i 5 na osi OX, zatem:
Wniosek:
Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 36
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to , a do wykresu funkcji f należy punkt
.
Rozwiązanie:
Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to , zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do góry
- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. Wiemy, że będą one równoodległe od punktu 3 na osi OX oraz że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, zatem:
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:
Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:
- Szczegóły
- Odsłony: 24
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zbiorem wartości funkcji f jest przedział oraz
.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zatem:
Wiemy, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział , zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do dołu
- druga współrzędna wierzchołka jest równa 1.
Wniosek:
Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
Wiemy, że , zatem do wykresu funkcji f należy punkt o współrzędnych:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:
Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:
Wniosek:
, dwa miejsca zerowe:
Zapisujmy wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej:
- Szczegóły
- Odsłony: 19
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona największą wartość równą 4 oraz .
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja f przyjmuje ona największą wartość równą 4, zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do dołu
- druga współrzędna wierzchołka jest równa 4.
Wiemy, że , zatem:
- do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych i
.
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli:
Wniosek:
Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Otrzymujemy:
Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:
- Szczegóły
- Odsłony: 18
Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5.
Rozwiązanie:
Wiemy, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5, zatem:
- ramiona paraboli skierowane są do dołu
- mamy podaną współrzędną wierzchołka:
Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY ma współrzędne:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:
- Szczegóły
- Odsłony: 18
Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że suma miejsc zerowych funkcji f jest równa -4, a rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8.
Rozwiązanie:
Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY ma współrzędne:
Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -4, zatem:
Wiemy, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8, zatem:
Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej , gdzie
, można przekształcić do postaci kanonicznej
, gdzie
Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:
Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:
- Szczegóły
- Odsłony: 19
Wyznacz wartości współczynników b i c we wzorze funkcji kwadratowej , wiedząc, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie
.
Rozwiązanie:
Wiemy, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, zatem:
Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY ma współrzędne:
Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie , zatem:
Wyznaczamy współczynnik b we wzorze funkcji kwadratowej f: