Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej image001, wiedząc, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu image002 oraz punkt image003 należy do tej paraboli.

Rozwiązanie:

Wiemy, że image001, zatem współczynnik image001.

Wiemy, że wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne:

image005

Wiemy, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu image002. Wyznaczamy współczynnik b korzystając z pierwszej współrzędnej wierzchołka:

image006

image001

image007

image008

image009

image010

Wyznaczamy współczynnik c funkcji kwadratowej. Wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt image003, zatem:

image011

image003

image013

image014

image015

image016

Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej image001, wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6.

Rozwiązanie:

Wiemy, że image001, zatem współczynnik image002. Widzimy, że image003, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej. Wiemy, miejscami zerowymi funkcji f są liczby 4 oraz -6, zatem:

image004

image005

image006

image007

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

image007

image008

image009

image010

Odczytujemy współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej:

image001

image010

image011

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że dla argumentu 8 przyjmuje ona największą wartość, równą 1, a do wykresu tej funkcji należy punkt image001.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu image002 oraz współrzędne wierzchołka to image003.

Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej image004, gdzieimage005 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

image004

image001

image003

image006

image007

image008

image009

image010

image011

image012

Otrzymujemy:

image013

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image013

image014

image015

image016

image017

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 10 i -2, a jej wykres przecina oś OY w punkcie image001.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej image002, gdzieimage003 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image004

Wiemy, że miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby 10 i -2, zatem:

image005

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej przecina oś OY w punkcie image006, zatem:

image001

image007

Otrzymujemy:

image008

image005

image001

image009

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

image015

image016

image017

image018

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image002, gdzie,image003 można przekształcić do postaci kanonicznej image019, gdzie

image020

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image018

image021

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

image033

image034

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image019

image035

image036

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że ma ona tylko jedno miejsce zerowe oraz image001.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma jedno miejsce zerowe:

image002

Wiemy, że na osi liczbowej OX liczba image003 jest równoodległa od liczb -6 i 4, zatem:

image004

image005

image006

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej image007, gdzieimage008 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image009

image010

Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych

image011

Otrzymujemy:

image012

image006

image013

image014

image015

image016

image017

image018

image019

image020

Przekształcamy wór funkcji kwadratowej f do postaci ogólnej:

image020

image021

image022

image023

image024

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że jej zbiorem wartości jest przedział image001, do jej wykresu należy punkt image002, a średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2.

Rozwiązanie:

Wiemy, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział image001, zatem:

- funkcja przyjmuje wartość największą równą 6,

- ramiona paraboli skierowane są do dołu image003,

- funkcja ma dwa miejsca zerowe image004.

Wiemy, że do wykresu funkcji kwadratowej należy punkt image002.

Wiemy, że średnia arytmetyczna jej dwóch miejsc zerowych jest równa 2, zatem osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu image005 (czyli pierwsza współrzędna wierzchołka).

image006

Wiemy, że funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej image007, gdzieimage008 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

image007

image006

image002

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Otrzymujemy:

image016

Przekształcamy wzór do postaci ogólnej:

image016

image017

image018

image019

image020

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że do wykresu funkcji f należy punkt image001 oraz image002.

Rozwiązanie:

Uwaga: w założeniu zadania jest błąd, dla x=-1 funkcja nie może przyjąć wartości dodatniej 14, ponieważ image002. Rozwiążemy zadanie bez tego założenia.

Wiemy, że do wykresu funkcji f należy punkt image001.

Wiemy, że funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:

image003

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej image005, gdzieimage006 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image007

Otrzymujemy:

image008

image003

image001

image009

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

image015

image016

image017

image018

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image005, gdzie,image006 można przekształcić do postaci kanonicznej image019, gdzie

image020

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

image018

image021

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

image033

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image019

image034

image035

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -32 oraz image001.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -32, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry image002

- druga współrzędna wierzchołka wynosi -32

- funkcja ma dwa miejsca zerowe image003

Wiemy, że image001, zatem funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe:

image005

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli (pierwsza współrzędna wierzchołka):

image006

image007

image008

image009

Otrzymujemy:

image010

image005

image009

image011

image012

image013

image014

image015

image016

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej:

image016

image017

image018

image019

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że image001, a wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie image002.

Rozwiązanie:

Wiemy, że image001, zatem:

- funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe image003, wynika stąd, że image004,

image005

- ramiona paraboli skierowane są do dołu image006

Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie image002, zatem:

image007

image008

Wiemy, że jeśli image009, wówczas wzór funkcji kwadratowej image010, gdzieimage011 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image012

image013

Wyznaczamy współczynnik a:

image014

image003

image002

image015

image016

image017

image018

Wyznaczamy współczynnik b:

image005

image019

image020

image021

image022

image023

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej:

image010

image024

image025

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej image001, osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu image002, a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba -9.

Rozwiązanie:

Wiemy, że wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży na prostej image001, osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu image002, zatem:

image003

Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu -4, zatem:

image004

Wiemy, że jeśli image005, wówczas wzór funkcji kwadratowej image006, gdzieimage007 można przedstawić w postaci iloczynowej:

image008

image009

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image010

image011

image012

image013

image014

image015

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image010

image016

image017

image018

 

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, jeśli wiadomo, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to image001, jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt image002.

Rozwiązanie:

Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to image001, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry image003,

- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.

Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba -1, a do wykresu funkcji f należy punkt image002.

Zauważamy, że funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, równoodległe na osi OX od punktu 3, zatem:

image004

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image005

image004

image002

image006

image007

image008

image009

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image005

image010

image011

image012

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

image012

image013

image014

image015

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image016, gdzieimage017, można przekształcić do postaci kanonicznej image018, gdzie

image019

Otrzymujemy:

image015

image020

image021

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image018

image033

image034

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona najmniejszą wartość równą -4, a prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa f przyjmuje najmniejszą wartość równą -4, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry image001

- druga współrzędna wierzchołka jest równa -4.

Wiemy, że prosta o równaniu y=3 przecina wykres funkcji f w punktach o odciętych 1 i 5, zatem:

- do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych image002 i image003.

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że oś symetrii będzie przebiegała po środku między punktami 1 i 5 na osi OX, zatem:

image004

image005

image006

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

image007

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image008, gdzieimage009, można przekształcić do postaci kanonicznej image010, gdzie

image011

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image010

image012

image002

image013

image014

image015

image016

image017

image018

Otrzymujemy:

image019

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

image019

image020

image021

image022

image023

image024

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to image001, a do wykresu funkcji f należy punkt image002.

Rozwiązanie:

Wiemy, że maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca, to image001, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do góry image003

- pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f. Wiemy, że będą one równoodległe od punktu 3 na osi OX oraz że jedno z miejsc zerowych jest o 8 większe od drugiego, zatem:

image004

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image005

image004

image002

image007

image008

image009

image010

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

image005

image011

image012

image013

Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

image013

image014

image015

image016

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image017, gdzieimage018, można przekształcić do postaci kanonicznej image019, gdzie

image020

image016

image021

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

image033

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

image019

image034

image035

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, wiedząc, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zbiorem wartości funkcji f jest przedział image001 oraz image002.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -12, zatem:

image003

image004

image005

image006

Wiemy, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział image001, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu image007

- druga współrzędna wierzchołka jest równa 1.

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

image008

Wiemy, że image002, zatem do wykresu funkcji f należy punkt o współrzędnych:

image009

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image010, gdzieimage011, można przekształcić do postaci kanonicznej image012, gdzie

image013

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image012

image014

image009

image015

image016

image017

image018

image019

image020

Otrzymujemy:

image021

image022

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

image022

image023

image024

image025

image026

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f:

image026

image027

image028

image029

image030

image031

Wniosek:

image032, dwa miejsca zerowe:

image033

image034

image035

image036

image037

image038

Zapisujmy wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej:

image039

image040

image041

image042

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że przyjmuje ona największą wartość równą 4 oraz image001.

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja f przyjmuje ona największą wartość równą 4, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu image002

- druga współrzędna wierzchołka jest równa 4.

Wiemy, że image001, zatem:

- do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych image003 i image004.

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli:

image005

image006

image007

Wniosek:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

image008

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image009, gdzieimage010, można przekształcić do postaci kanonicznej image011, gdzie

image012

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image011

image013

image003

image014

image015

image016

image017

Otrzymujemy:

image018

Przekształcamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej:

image018

image019

image020

image021

image022

Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej image001, wiedząc, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5.

Rozwiązanie:

Wiemy, że dla argumentu -2 funkcja przyjmuje największą wartość równą 5, zatem:

- ramiona paraboli skierowane są do dołu image002

- mamy podaną współrzędną wierzchołka:

image003

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej image004 z osią OY ma współrzędne:

image005

image001

image006

image007

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image008, gdzieimage009, można przekształcić do postaci kanonicznej image010, gdzie

image011

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image010

image012

image007

image013

image014

image015

image016

image017

Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:

image018

image019

image020

image021

image023

image024

Wyznacz wartości współczynników a i b we wzorze funkcji kwadratowej image001, wiedząc, że suma miejsc zerowych funkcji f jest równa -4, a rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8.

Rozwiązanie:

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej image002 z osią OY ma współrzędne:

image003

image001

image004

image005

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii paraboli. Wiemy, że suma jej miejsc zerowych jest równa -4, zatem:

image006

image007

image008

image009

Wiemy, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ma wartość -8, zatem:

image010

Wiemy, że wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej image011, gdzieimage012, można przekształcić do postaci kanonicznej image013, gdzie

image014

Wyznaczamy współczynnik a funkcji kwadratowej:

image013

image015

image005

image016

image017

image018

image019

image020

Wyznaczamy współczynnik b funkcji kwadratowej:

image021

image022

image023

image024

image025

image026

Wyznacz wartości współczynników b i c we wzorze funkcji kwadratowej image001, wiedząc, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie image002.

Rozwiązanie:

image001

Wiemy, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe, zatem:

image003

Wiemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji kwadratowej image004 z osią OY ma współrzędne:

image005

Wiemy, że wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie image002, zatem:

image006

Wyznaczamy współczynnik b we wzorze funkcji kwadratowej f:

image007

image008

image009

image010

image011

image012

image013

image014

image015