Funkcja kwadratowa image001, gdzieimage002, określona w zbiorze liczb rzeczywistych, gdzie:

image003

image004

- przyjmuje wartość najmniejszą równą q, jeśli image005, wówczas ramiona paraboli skierowane są do góry, a więc funkcja kwadratowa nie przyjmuje wartości największej.

image006

- przyjmuje wartość największą równą q, jeśli image007, wówczas ramiona paraboli skierowane są do dołu, a więc funkcja kwadratowa nie przyjmuje wartości najmniejszej.

image008

Przykład 1.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej image009. Rozważ tę funkcję w podanym przedziale domkniętym. Stwierdź na podstawie wykresu jaka jest wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji image009 w podanym przedziale.

a) image010

image011

Wartość najmniejsza:

image012

Wartość największa:

image013

b) image014

image015

Wartość najmniejsza:

image016

Wartość największa:

image017

c) image010

image018

Wartość najmniejsza:

image019

Wartość największa:

image020

d) image014

image021

Wartość najmniejsza:

image017

Wartość największa:

image022

Wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej image023 w przedziale domkniętym image024 znajdujemy w następujący sposób:

- wyznaczamy image025 i image026;

- wyznaczamy współrzędne wierzchołka image027;

Jeśli image028 to wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą spośród liczb image029.

Jeśli image030 to wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą spośród liczb image029 i image031.

Przykład 2.

Nie wykonując rysunku oblicz wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej image032 w przedziale:

a) image033 

image032

Wyznaczamy image034 i image035:

image036

image037

image038

image039

image040

image041

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

image042

image032

image043

image044

image045

image046

Otrzymujemy:

image047

Wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą spośród liczb image048:

image039

image041

Wartość najmniejsza:

image020

Wartość największa:

image049

b) image050 

image032

Wyznaczamy image051 i image052:

image053

image054

image055

image056

image057

image058

image059

image060

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

image042

image032

image043

image044

image045

image046

Otrzymujemy:

image061

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka:

image032

image062

image063

image064

image065

image066

Wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą spośród liczb image067:

image056

image060

image068

Wartość najmniejsza:

image069

Wartość największa:

image070