Definicja 1.

Równaniem kwadratowym z niewiadomą x nazywamy równanie w postaci image001, przy czym image002 są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz image003.

Twierdzenie 1.

Równanie kwadratowe image001, gdzie image003 oraz image004:

- nie ma rozwiązań, wtedy i tylko wtedy, gdy image005,

- ma jedno rozwiązanie

image006

, wtedy i tylko wtedy, gdy image007,

- ma dwa rozwiązania

image008

, wtedy i tylko wtedy, gdy image009.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie:

a) image010 

image011

image004

image012

image013

image014

Wniosek:

image005, brak rozwiązań.

b) image015 

image016

image004

image017

image018

image007

Wniosek:

image007, jedno rozwiązanie:

image006

image019

image020

image021

c) image022 

image023

image004

image024

image025

image026

Wniosek:

image009, dwa rozwiązania:

image008

image027

image028

image029

image030

Przykład 2.

Rozwiąż równanie:

a) image031 

image032

image033

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:

image034

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

image042

image043

image044

b) image045 

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image046

image045

image047

image048

image049

image050

image051

image052

image053

image054

image055

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

image001

image007

image008

image009

image010

image011

image012, dwa rozwiązania:

image013

image014

image015image016

image017

image018

image019

b) image002

image002

image020

image008

image021

image022

image023

image012, dwa rozwiązania:

image013

image024

image025

image026

image027

image028

c) image003

image003

image029

image008

image030

image031

image032

image033, równanie sprzeczne - brak rozwiązania.

d) image004

image004

image034

image008

image035

image036

image037

image037, jedno rozwiązanie:

image038

image039

image040

image041

image042

image043

e) image005

image005

image044

image008

image045

image046

image047

image033, równanie sprzeczne - brak rozwiązania.

f) image006

image006

image048

image008

image049

image050

image051

image012, dwa rozwiązania:

 image013

 image052

 image053

 image054

image056

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

image001

Wyłączamy wspólny czynnik image007 przed nawias:

image008

image009

image010

image011

image012

image013

image014

b) image002

image002

image015

image016

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image017

image016

image018

image019

image020

image021

image022

image023

image024

c) image003

image003

image026

Wyłączamy wspólny czynnik image027 przed nawias:

image028

image029

image030

image031

image032

image033

image034

d) image004

image004

Wyłączamy wspólny czynnik image035 przed nawias:

image036

image037

image038

Równanie sprzeczne – brak rozwiązań.

e) image005

image005

Wyłączamy wspólny czynnik image039 przed nawias:

image040

image041

image042

image011

image043

image023

image044

f) image006

image045

image046

image047

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image017

image047

image048

image049

image050

image051

image052

image053

image054

image055

image056

image057

image058

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

Przekształcamy równanie do postaci: image007

image008

image009

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image010

image011

image012

image013

image014

image014, jedno rozwiązanie:

image015

image016

image017

image018

image019

image020

b) image002

Przekształcamy równanie do postaci: image007

image021

image022

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image023

image011

image024

image025

image026

image027, dwa rozwiązania:

image028

image029

image030

image031

image032

image033

image034

c) image003

Równanie jest w postaci: image007

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image035

image011

image036

image037

image038

image027, dwa rozwiązania:

image028

image039

image040

image041

image042

image043

d) image004

Przekształcamy równanie do postaci: image007

image044

image045

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image046

image011

image047

image048

image049

image027, dwa rozwiązania:

image028

image050

image051

image052

image053

image054

e) image005

Przekształcamy równanie do postaci: image007

image055

image056

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image057

image011

image058

image059

image060

image027, dwa rozwiązania:

image028

image061

image062

image063

image064

image065

f) image006

Przekształcamy równanie do postaci: image007

image066

image067

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image068

image011

image069

image070

image060

image027, dwa rozwiązania:

image028

image071

image072

image073

image074

image075

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Rozwiązanie:

a) image001

image010

image011

Wyłączamy wspólny czynnik image012 przed nawias:

image013

image014

image015

image016

image017

image018

b) image002

image019

image020

image021

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image022

image021

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

c) image003

image032

image033

image034

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

image042

image025

image026

image027

image043

d) image004

image044

image045

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:

image035

image046

image047

image048

image049

image027

image050

image051

image052

image053

e) image005

image054

image055

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (kwadrat różnicy):

image056

image055

image057

image058

image059

image060

f) image006

image061

image062

Równanie sprzeczne – brak rozwiązań.

g) image007

image063

image064

image065

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image022

image065

image066

image067

image068

image069

image070

image071

image072

image073

image074

image075

image076

h) image008

image077

image078

image079

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (kwadrat różnicy):

image056

image079

image080

image081

image052

i) image009

image082

image083

image084

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:

image035

image085

image086

image087

image088

image089

image090

image091

image092

image093

image094

image095

image096

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Rozwiązanie:

a) image001

Przekształcamy równanie:

image010

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017, dwa rozwiązania:

image018

image019

image020

image021

image022

image023

b) image002

image024

image013

image025

image026

image027

image028, równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

c) image003

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image029

image003

image030

image031

image032

Przekształcamy równanie:

image033

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image034

image035

image036

image037

d) image004

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image034

image004

image038

image039

image040

image041

image042

image013

image043

image044

image045

image017, dwa rozwiązania:

image018

image046

image047

image048

image049

image050

e) image005

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image029

image005

image051

image052

image053

image054

image013

image055

image056

image057

image017, dwa rozwiązania:

image018

image058

image059

image060

image061

image062

f) image006

Przekształcamy równanie:

image063

image064

image065

image066

image067

image068

image069

image070

image071

image072

image073

image074

g) image007

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image034

image007

image075

image076

image077

image078

image079

image013

image080

image081

image016

image017, dwa rozwiązania:

image018

image082

image083

image084

image085

image086

h) image008

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image029

image008

image087

image088

image089

image090

image013

image091

image092

image093

image017, dwa rozwiązania:

image018

image094

image095

image096

image097

image098

image099

image100

i) image009

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image029

image034

image009

image101

image102

image103

image104

image105

image106

image107

image013

image108

image109

image110

image017, dwa rozwiązania:

image018

image111

image112

image113

image114

image115

Rozwiąż równania, stosując wzór na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image005

image007

image007

a) image001

Przekształcamy równanie:

image001

image007

image008

image009

image007

image010

Otrzymujemy:

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017

image018

image019

b) image002

Przekształcamy równanie:

image002

image007

image020

image021

image007

image022

Otrzymujemy:

image023

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

c) image003

Przekształcamy równanie:

image003

image005

image032

image033

image007

image034

image035

Otrzymujemy:

image036

image037

image038

image039

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image041

image042

image043

image044

d) image004

Przekształcamy równanie:

image004

image005

image045

image046

image007

image047

Otrzymujemy:

image048

image049

image050

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image058