Definicja 1.

Równaniem kwadratowym z niewiadomą x nazywamy równanie w postaci image001, przy czym image002 są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz image003.

Twierdzenie 1.

Równanie kwadratowe image001, gdzie image003 oraz image004:

- nie ma rozwiązań, wtedy i tylko wtedy, gdy image005,

- ma jedno rozwiązanie

image006

, wtedy i tylko wtedy, gdy image007,

- ma dwa rozwiązania

image008

, wtedy i tylko wtedy, gdy image009.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie:

a) image010 

image011

image004

image012

image013

image014

Wniosek:

image005, brak rozwiązań.

b) image015 

image016

image004

image017

image018

image007

Wniosek:

image007, jedno rozwiązanie:

image006

image019

image020

image021

c) image022 

image023

image004

image024

image025

image026

Wniosek:

image009, dwa rozwiązania:

image008

image027

image028

image029

image030

Przykład 2.

Rozwiąż równanie:

a) image031 

image032

image033

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:

image034

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

image042

image043

image044

b) image045 

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):

image046

image045

image047

image048

image049

image050

image051

image052

image053

image054

image055

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Rozwiąż równania, stosując wzór na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż równanie:

a) image001

b)image002

c) image003

d) image004

e)image005

f)image006

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiązaniami równania kwadratowego image001 są liczby image002 i image003. Wyznacz b oraz c, wiedząc, że:

a) image004

b) image005

c) image006

d) image007

Jedynym rozwiązaniem równania image001 jest liczba image002. Wyznacz b oraz c, wiedząc, że:

a) image003

b) image004

c) image005

d) image006

Rozwiąż graficznie równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Wyznacz wartość a tak, aby podana obok równania liczba była rozwiązaniem tego równania, jeśli:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a, równanie image001 ma rozwiązanie.

Wykaż, że jeśli image001, gdzie image002, to równanie image003 ma rozwiązanie.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a, równanie image001 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznacz to rozwiązanie.

Liczba 3 jest rozwiązaniem danego równania z niewiadomą x. Sprawdź, czy równanie ma jeszcze jedno rozwiązanie. Jeśli tak, to wyznacz to rozwiązanie.

a) image001

b) image002