Równanie image001, gdzie image002, nazywamy równaniem dwukwadratowym.

Przykład 1

Rozwiąż równanie:

image003

Równanie można zapisać w postaci:

image004

Wprowadzamy zmienną t:

image005

Otrzymujemy:

image006

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image007

image008

image009

image010

image011

Wniosek:

image012, dwa rozwiązania:

image013

image014

image015

image016

image017

Wracamy do  podstawienia:

image005

Otrzymujemy:

image018

Rozwiązujemy dwa równania:

image019

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image020

image021

image022

image023

Przykład 2

Wykaż, że równanie jest sprzeczne:

image024

Równanie można zapisać w postaci:

image025

Wprowadzamy zmienną t:

image005

Otrzymujemy:

image026

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image027

image008

image028

image029

image030

Wniosek:

image012, dwa rozwiązania:

image013

image031

image032

image033

image034

Wracamy do  podstawienia:

image005

Otrzymujemy:

image035

Rozwiązujemy dwa równania:

image036

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image037

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiąż równanie:

image038

Wprowadzamy zmienną t:

image039

Otrzymujemy:

image040

Przekształcamy równanie kwadratowe korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

image041

image040

image042

image043

image044

image045

image046

Wracamy do podstawienia:

image039

image046

image047

image048

image049

image050

image051

image052

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

image001

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image008

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image009

image010

image011

image012

image013

Wniosek:

image014, dwa rozwiązania:

image015

image016

image017

image018

image019

Wracamy do  podstawienia:

image007

Otrzymujemy:

image020

Rozwiązujemy dwa równania:

image021

image022

image023

image024

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

image025

b) image002

image002

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image026

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image027

image010

image028

image029

image030

Wniosek:

image014, dwa rozwiązania:

image015

image031

image032

image033

image034

Wracamy do  podstawienia:

image007

Otrzymujemy:

image035

Rozwiązujemy dwa równania:

image036

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image037

image038

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image038

c) image003

image003

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image039

Przekształcamy równanie kwadratowe korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

image040

image039

image041

image042

image043

image044

image045

Wracamy do podstawienia:

image007

image046

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

d) image004

image004

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image047

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image048

image010

image049

image050

image051

Wniosek:

image051, jedno rozwiązanie:

image052

image053

image054

image055

Wracamy do  podstawienia:

image007

Otrzymujemy:

image056

Rozwiązujemy dwa równania:

image056

image057

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image057

e) image005

image005

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image058

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image059

image010

image060

image061

image062

Wniosek:

image014, dwa rozwiązania:

image015

image063

image064

image065

image066

Wracamy do  podstawienia:

image007

Otrzymujemy:

image067

Rozwiązujemy dwa równania:

image068

image069

image070

image071

Otrzymujemy trzy rozwiązania:

image072

f) image006

image006

Przekształcamy równanie:

image073

image074

Wprowadzamy zmienną t:

image007

Otrzymujemy:

image075

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image076

image010

image077

image078

image079

Wniosek:

image014, dwa rozwiązania:

image015

image080

image081

image082

image083

Wracamy do  podstawienia:

image007

Otrzymujemy:

image084

Rozwiązujemy dwa równania:

image085

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image068

image069

Otrzymujemy jedno rozwiązanie:

image069

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image007

image008

Przekształcamy równania do postaci:

image009

a) image001

image001

Przekształcamy równanie:

image010

image011

image012

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image014

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image015

image016

image017

image018

image019

Wniosek:

image020, dwa rozwiązania:

image021

image022

image023

image024

image025

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image026

Rozwiązujemy dwa równania:

image027

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image028

image029

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image029

b) image002

image002

Przekształcamy równanie:

image008

image030

image031

image032

image033

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image034

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image035

image016

image036

image037

image019

Wniosek:

image020, dwa rozwiązania:

image021

image038

image039

image040

image041

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image042

Rozwiązujemy dwa równania:

image043

image044

image045

image046

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

image047

c) image003

image003

Przekształcamy równanie:

image048

image049

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image050

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image051

image016

image052

image053

image054

Wniosek:

image054, jedno rozwiązanie:

image055

image056

image057

image058

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image043

Rozwiązujemy równanie:

image043

image044

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image044

d) image004

image004

Przekształcamy równanie:

image008

image059

image060

image061

image062

image063

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image064

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image065

image016

image066

image067

image068

Wniosek:

image020, dwa rozwiązania:

image021

image069

image070

image071

image072

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image073

Rozwiązujemy dwa równania:

image074

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image075

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

e) image005

image005

Przekształcamy równanie:

image007

image076

image077

image078

image079

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image080

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image081

image016

image082

image083

image084

Wniosek:

image020, dwa rozwiązania:

image021

image085

image086

image087

image088

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image089

Rozwiązujemy dwa równania:

image090

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image091

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

f) image006

image006

Przekształcamy równanie:

image007

image092

image093

image094

image095

image096

Wprowadzamy zmienną t:

image013

Otrzymujemy:

image097

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image098

image016

image099

image100

image101

Wniosek:

image020, dwa rozwiązania:

image021

image102

image103

image104

image105

Wracamy do  podstawienia:

image013

Otrzymujemy:

image106

Rozwiązujemy dwa równania:

image107

image108

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image109

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image108

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

image007

image008

Przekształcamy równania do postaci:

image009

a) image001

image001

image010

image011

image012

image013

Wprowadzamy zmienną t:

image014

Otrzymujemy:

image015

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image016

image017

image018

image019

image020

Wniosek:

image021, dwa rozwiązania:

image022

image023

image024

image025

image026

Wracamy do  podstawienia:

image014

Otrzymujemy:

image027

Rozwiązujemy dwa równania:

image028

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image029

image030

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image030

b) image002

image002

image031

image032

image033

image034

Wprowadzamy zmienną t:

image014

Otrzymujemy:

image035

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image036

image017

image037

image038

image039

Wniosek:

image021, dwa rozwiązania:

image022

image040

image041

image042

image043

Wracamy do  podstawienia:

image014

Otrzymujemy:

image044

Rozwiązujemy dwa równania:

image029

image030

image045

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image030

c) image003

image003

image007

image046

image047

image048

image049

image050

image051

Wprowadzamy zmienną t:

image014

Otrzymujemy:

image052

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image053

image017

image054

image055

image056

Wniosek:

image057, równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

d) image004

image004

image058

image059

image060

image061

image062

image063

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

image064

Otrzymujemy:

image065

Rozwiązujemy dwa równania:

image066

image067

image068

image069

image070

image071

Otrzymujemy trzy rozwiązania:

image072

e) image005

image005

image008

image007

image073

image074

image075

image076

image077

Wprowadzamy zmienną t:

image014

Otrzymujemy:

image078

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image079

image017

image080

image081

image082

Wniosek:

image021, dwa rozwiązania:

image022

image083

image084

image085

image086

Wracamy do  podstawienia:

image014

Otrzymujemy:

image087

Rozwiązujemy dwa równania:

image088

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

image070

image071

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image071

f) image006

image006

image008

image089

image090

image091

image092

image093

image094

Wprowadzamy zmienną t:

image014

Otrzymujemy:

image095

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

image096

image017

image097

image098

image099

Wniosek:

image021, dwa rozwiązania:

image022

image100

image101

image102

image103

Wracamy do  podstawienia:

image014

Otrzymujemy:

image104

Rozwiązujemy dwa równania:

image105

image106

image107

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image108

Podaj przykład równania dwukwadratowego, które:

a) ma dwa rozwiązania

b) jest sprzeczne

c) ma trzy rozwiązania

d) ma cztery rozwiązania

Rozwiązanie:

a) ma dwa rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

image001

Niech:

image002

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

image003

Równanie dwukwadratowe ma mieć dwa rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało jedno dodatnie rozwiązanie image004:

image005

image006

image007

image008

Otrzymujemy np.:

image009

image010

Wracamy do  podstawienia:

image002

Otrzymujemy:

image011

b) jest sprzeczne

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

image001

Niech:

image002

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

image003

Równanie dwukwadratowe ma być sprzeczne, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t nie miało rozwiązań image012:

image005

image013

Otrzymujemy np.:

image014

image015

Wracamy do  podstawienia:

image002

Otrzymujemy:

image016

c) ma trzy rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

image001

Niech:

image002

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

image003

Równanie dwukwadratowe ma mieć trzy rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało dwa rozwiązania: jedno równe zero, drugie dodatnie image017:

image005

image018

image019

image020

image021

Otrzymujemy np.:

image022

image023

Wracamy do  podstawienia:

image002

Otrzymujemy:

image024

d) ma cztery rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

image001

Niech:

image002

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

image003

Równanie dwukwadratowe ma mieć cztery rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało dwa dodatnie rozwiązania image025:

image005

image018

image019

image026

image021

Otrzymujemy np.:

image027

image028

Wracamy do  podstawienia:

image002

Otrzymujemy:

image029

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

Przekształcamy równanie:

image007

image008

Wprowadzamy zmienną t:

image009

Otrzymujemy:

image010

image011

image012

Wracamy do podstawienia:

image009

image013

Pierwsze równanie:

image014

image015

image016

Drugie równanie:

image017

image018

image019

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

image020

b) image002

Przekształcamy równanie:

image021

image022

Wprowadzamy zmienną t:

image023

Otrzymujemy:

image024

image025

image026

image027

image028

Wracamy do podstawienia:

image023

image029

image030

image031

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

image031

c) image003

Wprowadzamy zmienną t:

image032

Otrzymujemy:

image033

image034

image035

image036

image037

image038

image039

Wracamy do podstawienia:

image032

image040

Pierwsze równanie:

image041

image042

image043

image044

image045

image046

image047

Drugie równanie:

image048

image049

image050

image051

image052

image053

image054

image055

image056

image057

image058

image059

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

image060

d) image004

Wprowadzamy zmienną t:

image061

Otrzymujemy:

image062

image063

image051

image064

image065

image066

image067

image068

image069

image070

Wracamy do podstawienia:

image061

image071

image072

Równanie sprzeczne.

e) image005

Przekształcamy równanie:

image073

image074

Wprowadzamy zmienną t:

image075

Otrzymujemy:

image076

image077

image051

image078

image079

image080

image081

image082

image083

image084

image085

Wracamy do podstawienia:

image075

image086

Pierwsze równanie:

image087

image088

image089

Drugie równanie:

image090

image091

Równanie sprzeczne.

Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

image089

f) image006

Przekształcamy równanie:

image092

image093

Wprowadzamy zmienną t:

image094

Otrzymujemy:

image095

image096

image051

image097

image098

image080

image081

image099

image100

image101

image102

Wracamy do podstawienia:

image094

image103

Pierwsze równanie:

image104

image105

image106

image051

image107

image108

image054

image055

image109

image110

image111

image112

Drugie równanie:

image113

image114

image115

image116

image117

image118

image055

image119

image120

image121

image122

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

image123