image001

Kąty odpowiadające image002

Kąty naprzemianległe wewnętrzne image003

Kąty naprzemianległe zewnętrzne image004

Twierdzenie 1

Jeżeli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty naprzemianległe wewnętrzne równe, to są równoległe.

Twierdzenie 2

Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.

Przykład 1

W czworokącie ABCD punkt E należy do boku DC oraz image005Wykaż, że jeśli image006, to czworokąt ABCD jest trapezem.

Oznaczmy:

image007

image008

image009

Aby czworokąt ABCD był trapezem, musimy wykazać, że proste AB i DC są równoległe.

Wiemy, że kąty AED i AEC są przyległe, zatem ich suma jest równa image010.

image011

image012

image013

image014

Widzimy, że kąty BAE i AED (czyli kąty naprzemianległe wewnętrzne) mają równe miary, zatem proste AB i DC są równoległe.

Przykład 2

Proste k i l są równoległe. Prosta m przecina prostą k pod kątem image015. Prosta l tworzy z prostą m kąty image016 i image017, jak na rysunku obok. Wyznacz kąt image015, wiedząc, że image018.

image019

Wiemy, że kąty image016 i image017 są przyległe, zatem ich suma jest równa image010.

image020

image018

image021

image022

image023

Wiemy, że proste k i l są równoległe, zatem kąty image015 i image016 mają równą miarę (kąty naprzemianległe wewnętrzne).

image024

Twierdzenie 3

Suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa image010.

image025

image026

Wyznacz miarę image001 kąta zaznaczonego na rysunku, wiedząc, że proste k i l są równoległe.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Czy dany na rysunku czworokąt ABCD jest równoległobokiem? Odpowiedź uzasadnij powołując się na odpowiednie twierdzenie.

a) image001

b) image002

Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta, korzystając z danych na rysunku poniżej.

a) image001

b) image011

c) image021image022

Korzystając z twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, wykaż, że:

a) suma miar dwóch kątów równoległoboku leżących przy jednym boku jest równa image001;

b) suma miar dwóch kątów trapezu leżących przy jednym ramieniu jest równa image001.

Udowodnij, że jeśli image001, zobacz rysunek obok, to dwusieczne kątów image002 i image003 są prostopadłe.

image004

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym image001. Przez punkt A poprowadzono prostą DE (zobacz rysunek obok). Wykaż, że jeśli image002, to image003.

image004

Dany jest kąt wypukły AOB i punkt P leżący na dwusiecznej tego kąta. Wykaż, że jeśli image001, to prosta PB jest równoległa do prostej AO.

W czworokącie ABCD długości boków AD i DC są równe. Wykaż, że jeśli przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku A lub przy wierzchołku C, to czworokąt ABCD jest trapezem.