Definicja 1

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem image001, gdzie image002. Liczby rzeczywiste a, b oraz c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

image003  image004 

image005, gdzie image006

Ramiona paraboli skierowane są do góry.

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość, nie przyjmuje wartości największej.

Najmniejsza wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q.

Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image008.

image005, gdzie image007

Ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość, nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, równą q.

Oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image008.


Parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej image001, gdzie image002, przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image009.

Jeśli liczby image010 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, to osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu:

image011

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej image012.

Zauważamy, że współczynnik image013, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Przekształcamy wzór funkcji image014 korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

image015

image012

image016

image017

Zauważamy, że najmniejszą wartość, czyli zero funkcja f przyjmuje dla argumentu image018.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji image014 ma zatem współrzędne image019.

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji image014 jest prosta opisana równaniem image020.

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:

image021

oraz punkty do nich symetryczne względem prostej image020:

image023

image024

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej image025, wyznacz jej miejsca zerowe oraz zapisz przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Zauważamy, że współczynnik image026, zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

image027

image028

image029

image030

image031

Miejscami zerowymi funkcji f są liczby: 0 i 4.

Wyznaczamy równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji f:

image011

image032

image033

image034

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli opisanej wzorem image025:

image035

image008

image034

image036

image037

image038

image039

Aby narysować wykres funkcji f wyznaczamy jeszcze kilka punktów:

image040

oraz punkty do nich symetryczne względem prostej image034:

image042

image043

Odczytujemy przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:

image044

Wzór każdej funkcji kwadratowej image045, gdzie image002, można zapisać w postaci image046, gdzie image047 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wzór image046 nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Przykład 3

Ze wzoru funkcji kwadratowej image048 odczytaj:

a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.

c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.

a) współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wiemy, że we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej image047 to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

image049

image048

image050

image051

image052

b) argument, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.

Współczynnik image053, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wiemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne image054, zatem

najmniejszą wartość, czyli image055, funkcja f przyjmuje dla argumentu image056.

c) zapisz równanie będące osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f.

Wiemy, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem  image008.

image056

Przykład 4

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli:

a) image057

b) image058

a) image057

image059

image060

image061

image062

Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem:

image063

b) image058

image064

image065

image066

image067

Funkcja f w postaci kanonicznej opisana jest wzorem:

image068

Poniżej znajdują się wykresy funkcji kwadratowych. Uzupełnij brakujące współrzędne punktów A, B, C należących do tych wykresów.

a) image001  b) image002 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej. Naszkicuj wykres tej funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych i omów jej własności.

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Podaj współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz równanie prostej będącej osią symetrii tej paraboli.

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Oblicz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią OY. Naszkicuj wykres funkcji, następnie odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości tej funkcji.

a) image001  b) image002  c) image003 

Zapisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Następnie podaj zbiór wartości tej funkcji oraz przedziały monotoniczności.

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Wyznacz miejsca zerowe, (jeżeli istnieją) funkcji kwadratowej określonej wzorem:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 
g) image007  h) image008  i) image009 

Wyznacz miejsca zerowe, (jeżeli istnieją) funkcji kwadratowej określonej wzorem:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006

Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Oblicz miejsca zerowe funkcji f. Naszkicuj wykres tej funkcji i podaj zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne, oraz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Naszkicuj wykres tej funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych i omów jej własności.

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Dany jest zbiór wartości funkcji kwadratowej f, równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji oraz punkt P należący do tej paraboli. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej i w postaci ogólnej.

a) image001  b) image002 
c) image003  d) image004