Definicja 1

W trójkącie prostokątnym, w którym a, b to przyprostokątne, c – przeciwprostokątna, dany jest kąt image001 i kąt image002.

image003

Dla kątów image001 i image002 możemy określić następujące funkcje trygonometryczne:

- dla kąta image001:

Sinus kąta ostrego image001 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image001 do przeciwprostokątnej:

image004

Cosinus kąta ostrego image001 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie image001 do przeciwprostokątnej:

image005

Tangens kąta ostrego image001 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image001 do przyprostokątnej leżącej przy kącie image001:

image006

Cotangens kąta ostrego image001 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie image001 do przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image001:

image007

- dla kąta image002:

Sinus kąta ostrego image002 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image002 do przeciwprostokątnej:

image008

Cosinus kąta ostrego image002 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie image002 do przeciwprostokątnej:

image009

Tangens kąta ostrego image002 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image002 do przyprostokątnej leżącej przy kącie image002:

image010

Cotangens kąta ostrego image002 to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie image002 do przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta image002:

image011

Przykład 1

Pod jakim kątem padają promienie słoneczne, jeśli kij mający długość 142 cm, ustawiony prostopadle do powierzchni Ziemi na płaskim terenie, rzuca cień, którego długość jest równa 250 cm?

image012

Mamy podane długości dwóch przyprostokątnych trójkąta, zatem możemy skorzystać z funkcji image013 lub image014.

image015

image016

Odczytujemy szukaną wartość w tablicach matematycznych.

image017

Przykład 2

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna przyległa do kąta ostrego image001 ma długość a oraz przeciwprostokątna ma długość b. Wiadomo, że image018.

Wyznacz wartość ułamka image019.

image020

Wiemy, że:

image018

Zauważamy, że:

image021

Otrzymujemy:

image022

Przekształcamy równanie wyznaczając jedną ze zmiennych:

image023

image024

Podstawiamy wartość a do wyrażenia image019:

image025

image026

:

Przykład 3

Zbuduj kąt ostry image001, dla którego image027.

image028

Oblicz wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego image001 w trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej:

a) image002b) image003c) image004

Na podstawie danych na rysunku poniżej, oblicz wartość wyrażenia:

a) image001     image002

b) image003     image004

c) image005     image006

Oblicz długość odcinka x zaznaczonego na rysunku poniżej. Skorzystaj z tablic trygonometrycznych. Wynik podaj z dokładnością do pierwszego miejsca po przecinku.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Na podstawie podanych niżej informacji oblicz obwód danego trójkąta. Wynik podaj z dokładnością do 1 cm.

a) image001

image002

b) image003

image004

c) image005

image006

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej długości c kąt ostry image001 leży naprzeciw boku długości a. Wiedząc, że:

a) image002, oblicz image003

b) image004, oblicz image005

c) image006, oblicz image007

d) image008, oblicz image009

Wyznacz miarę kąta image001, korzystając z danych na rysunku:

a) image002

b) image003

c) image004

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b, c i kątach ostrych image001 – jak na rysunku obok. Wyznacz wielkości, podane obok danych:

image002

a) image003

b) image004

c) image005

Skonstruuj kąt ostry image001, wiedząc, że:

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

e) image006

f) image007

Droga wznosi się pod kątem image001. Janek przeszedł tą drogą 650 metrów. Jaką pokonał wysokość?

Wieża ma wysokość 34 m. W jakiej odległości od podstawy wieży zmierzono kąt wzniesienia tej wieży, jeśli był równy image001?

Pilot samolotu lecącego na wysokości 2000 m z prędkością 230 km/h spostrzegł pewną miejscowość pod kątem depresji równym image001. Po ilu minutach samolot znajdzie się nad tą miejscowością?

Do miski mającej kształt półkuli o promieniu 10 cm nalano wodę do wysokości 6 cm. Jaki jest największy kąt image001, o który można przechylić miskę tak, żeby woda się nie wylała?