Definicja 1

Trójkąt image001 jest podobny do trójkąta image002 wtedy, gdy image003 oraz image004

image005

Liczbę image006image007, nazywamy skalą podobieństwa trójkąta image001 do trójkąta image002. Skala podobieństwa jest zawsze liczbą dodatnią.

image008

Jeżeli trójkąt image001 jest podobny do trójkąta image002, to stosunek obwodu trójkąta image001 do obwodu trójkąta image002 jest równy skali tego podobieństwa.

image009

Przykład 1

Sprawdź czy trójkąty image001 i image002 są podobne. Jeśli tak, to w jakiej skali?

image010

Sprawdzamy, czy trójkąty image001  i image002 są podobne:

image007

image011

image012

image013

Trójkąty są podobne, w skali 2.

Przykład 2

Wiadomo, że różnica obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa 20 cm. Wyznacz obwody tych trójkątów, wiedząc, że większy trójkąt jest podobny do mniejszego w skali image014.

Niech image015 oznaczają odpowiednio obwody większego i mniejszego trójkąta image016.

Wiemy, że różnica obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa 20 cm, zatem:

image017

image018

Wiemy, że większy trójkąt jest podobny do mniejszego w skali image014, zatem:

image019

image020

image021

otrzymujemy:

image018

image021

image022

image023

image024

image025

image026

image027

image028

Twierdzenie 1 (Cecha bbb podobieństwa trójkątów)

Jeżeli długości boków trójkąta image002 są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta image001, czyli image003, to te trójkąty są podobne.

image029

Twierdzenie 2 (Cecha bkb podobieństwa trójkątów)

Jeżeli długości dwóch boków trójkąta image002 są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta image001, czyli image030, oraz kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.

image031

Twierdzenie 3 (Cecha kkk podobieństwa trójkątów)

Jeżeli dwa kąty trójkąta image002 są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta image001, czyli image032, to te trójkąty są podobne.

image033

Korzystając z definicji odpowiedz na pytania:

a) Czy dowolne dwa trójkąty równoboczne są podobne?

b) Czy dowolne dwa trójkąty równoramienne są do siebie podobne?

c) Czy dowolne dwa trójkąty prostokątne równoramienne są do siebie podobne?

Rozwiązanie:

a) Czy dowolne dwa trójkąty równoboczne są podobne?

Wiemy, że w trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę image001, zatem image002 w dowolnych dwóch trójkątach równobocznych, czyli te trójkąty zawsze są podobne.

b) Czy dowolne dwa trójkąty równoramienne są do siebie podobne?

Wiemy, że w trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie maja równą miarę. Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image003.

Weźmy np.: trójkąty równoramienne o kątach image004 oraz image005. Widzimy, że image006, zatem nie wszystkie trójkąty równoramienne są do siebie podobne.

c) Czy dowolne dwa trójkąty prostokątne równoramienne są do siebie podobne?

Wiemy, że w dowolnym trójkącie prostokątnym równoramiennym dwa kąty przy podstawie maja równą miarę image007. Wiemy, że kąt między ramionami ma miarę image008, zatem image002 w dowolnych dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych, czyli te trójkąty zawsze są podobne.

Wykaż, że podane trójkąty są podobne.

a) image001

image002

b) image003

image004

c) image005

image006

image007 - równoległobok

d) image008

image009

Rozwiązanie:

a) image001

image002

Widzimy, że image011 jako kąty wierzchołkowe.

image010

Wiemy, że image012 zatem image014 oraz image015 jako kąty naprzemianległe (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

image013

Widzimy, że:

image016

zatem image001 są do siebie podobne.

b) image003

image004

Widzimy, że image011 ponieważ ramiona obydwu trójkątów i kąt przy wierzchołku image018 pokrywają się.

image017

Wiemy, że image019 zatem image014 oraz image015 jako kąty odpowiadające (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

image020

Widzimy, że:

image016

zatem image003  są do siebie podobne.

c) image005

image006

image007 - równoległobok

Widzimy, że w obydwu trójkątach znajduje się kąt prosty.

image021

Wiemy, że czworokąt image007 jest równoległobokiem, zatem image022 oraz image023.

Widzimy, że image011 jako kąty odpowiadające (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

image024

Widzimy, że w obydwu trójkątach występują kąty proste i kąty o mierze image025, zatem trzeci kąt musi mieć taką samą miarę w obydwu trójkątach (suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image026).

image027

Widzimy, że:

image016

zatem image005  są do siebie podobne.

d) image008

image009

Widzimy, że w obydwu trójkątach znajduje się kąt prosty.

image028

Widzimy, że image011 ponieważ ramiona obydwu trójkątów i kąt przy wierzchołku image018 pokrywają się.

image029

Widzimy, że w obydwu trójkątach występują kąty proste i kąty o mierze image025, zatem trzeci kąt musi mieć taką samą miarę w obydwu trójkątach (suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image026).

image030

Widzimy, że:

image016

zatem image008  są do siebie podobne.

Wyznacz długości x i y boków w danych trójkątach podobnych:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiązanie:

a) image001

image006

image007

image008

image009

image010

image011

image012

b) image002

image014

image015

image016

image017

image018

c) image003

image020

image021

image022

image023

image024

image025

d) image004

image027

image028

image029

image030

image031

image032

image033

image034