Podział trójkątów ze względu na boki:

- różnoboczne – wszystkie boki mają różne długości;

- równoramienne – co najmniej dwa boki mają taką samą długość;

- równoboczne – wszystkie boki mają tę samą długość.

Podział trójkątów ze względu na kąty:

- ostrokątne – mają wszystkie kąty ostre, czyli mniejsze niż image001;

- prostokątne – mają jeden kąt prosty, czyli równy image001 i dwa kąty ostre, czyli mniejsze niż image001;

- rozwartokątny – maja jeden kąt rozwarty, czyli większy niż image001 i dwa kąty ostre, czyli mniejsze niż image001.

image003

W trójkącie jeden z boków nazywamy podstawą, a dwa pozostałe ramionami. W przypadku trójkąta równoramiennego ramionami nazywamy boki mające tę samą długość.

W trójkącie prostokątnym boki zawarte w ramionach kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego przeciwprostokątną.

Twierdzenie 1

Jeśli boki trójkąta mają różne długości, to kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku ma największą miarę.

Twierdzenie 2

Jeśli kąty trójkąta mają różne miary, to bok leżący naprzeciw największego kąta ma największą długość.

Twierdzenie 3 (nierówność trójkąta)

W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości boku trzeciego.

image004 – boki trójkąta

image005

image006

image007

Załóżmy, że:

image008

Wiemy, że

image005

wówczas:

image009

image010

image011

Wniosek:

Najdłuższy bok trójkąta jest zawsze mniejszy od połowy obwodu tego trójkąta.

Twierdzenie 4 (odcinek łączący środki boków trójkąta)

Jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.

image012

Przykład 1

W trójkącie ABC mamy dane: image013 image014

a) Czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

b) Czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od 37?

image015

a) Czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

Wiemy, że image016, zatem

image017

image014

image018

Wniosek:

image019

zatem

image020

Trójkąt jest rozwartokątny ponieważ jeden z jego kątów ma miarę większą niż image001.

b) Czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od 37?

Wiemy, że image021 jest największa w tym trójkącie, zatem bok leżący naprzeciwko tego kata ma największą długość (większą niż 13).

Otrzymujemy:

image022

image023

Obwód tego trójkąta jest większy od 37.

Przykład 2

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę image024. Wyznacz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Mamy dwa przypadki:

image025

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa image026.

Przypadek I:

image027

image028

image029

Przypadek II:

image030

image031

image032

image033

Przykład 3

Wyznacz długości boków trójkąta, wiedząc, że są one liczbami naturalnymi i obwód tego trójkąta jest równy 11.

Wiemy, że:

- długości boków trójkąta są liczbami naturalnymi,

- suma dwóch boków trójkąta musi być dłuższa od długości trzeciego boku,

- najdłuższy bok trójkąta jest zawsze mniejszy od połowy obwodu tego trójkąta

image008

image034

image035

Boki tego trójkąta mogą mieć zatem długość:

image036

Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że:

a) pozostają w stosunku 2:3:4;

b) trójkąt jest równoramienny i jeden z kątów ma miarę dwa razy większą od drugiego;

c) największy kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych, a kąt środkowy jest równy średniej arytmetycznej dwóch pozostałych kątów.

Czy trójkąt ABC jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny? Odpowiedź uzasadnij.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Jeden z kątów trójkąta jest równy różnicy dwóch pozostałych. Wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny.

W trójkącie równoramiennym ABC dwusieczne kątów przy podstawie AB przecinają się w punkcie O. Wykaż, że jeśli image001, to trójkąt jest równoboczny.

Czy można zbudować trójkąt o bokach mających długość:

a) image001

b) image002, gdzie image003

c) image004

Odpowiedź uzasadnij.

Wiadomo, że boki trójkąta mają długości a, a+1, a+2. Wykaż, że image001.

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 2 i 5. Wyznacz długość trzeciego boku, wiedząc, że bok ten leży naprzeciw największego kąta i jest liczbą naturalną.

Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 5 i 4. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta. Wiedząc, że obwód trójkąta jest liczbą naturalną, oblicz długość trzeciego boku.

Boki trójkąta maja długość a, b, c. Oblicz obwód trójkąta powstałego w wyniku połączenia środków tych boków, jeśli:

a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm;

b) a + b + c = 10 cm.

Punkty K, L, M są środkami boków odpowiednio AB, BC i AC trójkąta ABC.

Wykaż, że:

a) czworokąt AKLM jest równoległobokiem;

b) jeśli równoległobok AKLM jest rombem, to trójkąt ABC jest równoramienny.

W trapezie ABCD, w którym image001, poprowadzono przekątną DB. Niech punkty K, L, M oznaczają odpowiednio środki odcinków AD, DB, BC. Wykaż, że:

a) punkty K, L, M są współliniowe;

b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC.