Definicja 1

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi image001, określoną wzorem image002, gdzie image003.

O zmiennych image001 mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Przykład 1

Dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni. Ilu potrzeba robotników, aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni?

Przyjmujemy, że jeśli jeden robotnik wykonuje pewna pracę w pewnym czasie, to czterech robotników wykona tę pracę w czasie cztery razy krótszym, a dziesięciu robotników w czasie dziesięć razy krótszym. Widzimy, że liczba robotników i czas ich pracy to wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Oznaczmy:

image004 – liczba robotników potrzebnych do wykonania pracy w ciągu 8 dni

Wiemy, że dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni:

image005

Wiemy, że image004 robotników wykona tę samą pracę w ciągu 8 dni:

image006

Otrzymujemy równanie:

image007

image008

image009

Aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni potrzebnych jest trzydziestu robotników.

Przykład 2

Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością image010.

a) Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi pieszo ze średnią prędkością image011?

b) Jaką prędkością jedzie autobus, który pokonuje tę samą drogę w czasie 24 minut?

Oznaczmy:

image012 – droga

image013 – prędkość

image014 – czas

Wielkość image012 jest w tym przypadku współczynnikiem proporcjonalności, zaś wielkości image015 są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Wiemy, że prędkość wyrażona jest wzorem:

image016

Przekształcamy wzór tak, aby wyrażał wzór na drogę:

image017

image018

Wyznaczymy długość drogi jaką pokonuje Robert. Wiemy, że Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością image010, zatem:

image019

image020

a) Wiemy, że idąc pieszo Robert porusza się ze średnią prędkością image011, zatem:

image018

image021

image022

b) Wiemy, że autobus pokonuje tę samą drogę w czasie 6 minut, zatem:

image018

image023

image024

image025

image026

Przykład 3

Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych image027, których iloczyn jest stały i równy -5.

image028

image029

image030

Wykresem funkcji image031, gdzie image032, jest hiperbola. Składa się ona z dwóch części, z których każdą nazywamy gałęzią hiperboli.

image033

 image034

image035

Gałęzie hiperboli znajdują się w I i III ćwiartce układu współrzędnych.

Funkcja jest malejąca:

image036

Zbiór wartości:

image037

image038

image039

image040

Gałęzie hiperboli znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.

Funkcja jest rosnąca:

image036

Zbiór wartości:

image037

Mama Kasi usmażyła powidła ze śliwek na zimę, które przełożyła do 12 słoików o pojemności 0,5 l każdy. Ile użyłaby słoików o pojemności 0,3 l każdy, a ile o pojemności 0,75 l każdy?

Piętnastu robotników wykonałoby pewną pracę w czasie 12 dni.

a) ile dni zajęłoby wykonanie tej samej pracy sześciu robotnikom?

b) ilu robotników potrzeba do wykonania całej pracy w ciągu 10 dni?

Książki Oli stoją na sześciu półkach, na każdej półce po tyle samo. Gdyby na każdej półce zmieścić o 3 książki więcej, to zmieściłyby się wszystkie książki Oli na czterech półkach. Ile książek ma Ola?

Motocyklista poruszający się ze stałą prędkością przejechał drogę z miasta A do miasta B w ustalonym czasie. Jeśli jechałby z prędkością o image001 większą, to przyjechałby o godzinę wcześniej, jeśli zaś jechałby z prędkością o image001 mniejszą, to przyjechałby o 2 godziny później. W jakim czasie i z jaką prędkością przejechał drogę z A do B?

Maciek trenuje kolarstwo. W poniedziałek podczas treningu przejechał pewną drogę w czasie 1 godziny i 20 minut. We wtorek, jadąc z prędkością o image001 większą, pokonał ten sam dystans w czasie o 14 minut krótszym. Oblicz prędkość, z jaką jechał Maciek drugiego dnia. Jak długi dystans zaplanował chłopiec na poniedziałkowy i wtorkowy trening?

Każda z 16 klas w liceum, wystawiła jedną sztukę podczas szkolnego festiwalu teatralnego. Rada rodziców przeznaczyła pewną kwotę pieniędzy na nagrody, po tyle samo dla każdej z nagrodzonych klas. Gdyby zostało nagrodzonych pięć klas, to każda z nich otrzymałaby o 400 zł mniej, niż gdyby zostały nagrodzone trzy klasy.

a) Oblicz, jaką kwotę przeznaczyła rada rodziców na nagrody podczas szkolnego festiwalu teatralnego.

b) Napisz wzór funkcji opisujący kwotę y otrzymanej nagrody przez każdą klasę, w zależności od liczby x nagrodzonych klas

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu 18, których długości boków są równe x i y.

a) Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji opisującej długości boku y w zależności od długości boku x.

b) Wypisz wszystkie pary liczb naturalnych image001, dla których pole prostokąta jest równe 18.

Trójkąt o podstawie długości image001 i wysokości image002 poprowadzonej na tę podstawę ma pole równe image003.

a) Oblicz image001, jeśli wysokość jest równa 8 cm.

b) Oblicz image002, jeśli podstawa ma długość 15 cm.

c) Naszkicuj wykres funkcji opisującej wysokość image002 w zależności od długości postawy image001 trójkąta.

Naszkicuj wykres funkcji image001, gdzie image002. Następnie zaznacz na wykresie wszystkie punkty, których obie współrzędne są całkowite. Ile ich jest?

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych image001, spełniające równanie image002. Ile ich jest?

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych image001, spełniające równanie image002.