Definicja 1

Dwa trójkąty nazywamy trójkątami przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki i kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego trójkąta.

Twierdzenie 1 (I cecha przystawania trójkątów, bbb)

Jeżeli długości trzech boków w trójkącie są odpowiednio równe długościom trzech boków w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

image001

Jeśli

image002

wówczas

image003

Twierdzenie 2 (II cecha przystawania trójkątów, bkb)

Jeżeli dwa boki i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

image004

Jeśli

image005

wówczas

image006

Twierdzenie 3 (III cecha przystawania trójkątów, kbk)

Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

image007

Jeśli

image008

wówczas

image009

Czy dane dwa trójkąty są przystające? Odpowiedź uzasadnij.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

Korzystamy z III cechy przystawania trójkątów, kbk.

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image007, zatem:

image008

Widzimy, że w obydwu trójkątach mamy image009, zatem te trójkąty są przystające.

b) image002

Korzystamy z II cechy przystawania trójkątów, kbk.

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image007, zatem:

image010

Widzimy, że w pierwszym trójkącie mamy image011, w drugim trójkącie image012 zatem te trójkąty nie są przystające.

c) image003

Korzystamy z I cechy przystawania trójkątów, bbb.

Widzimy, że pierwszy trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równą miarę.

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image007, zatem:

image013

Wiemy, że trójkąt, w którym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę image014 jest trójkątem równobocznym, zatem:

image015

Widzimy, że w obydwu trójkątach mamy boki długości image016, zatem te trójkąty są przystające.

d) image004

Korzystamy z II cechy przystawania trójkątów, bkb.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy drugi trójkąt jest trójkątem prostokątnym:

image017

image018

image019

image020

Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, zatem trójkąt o bokach długości 6, 8, 10 jest trójkątem prostokątnym.

image021

Widzimy, że w obydwu trójkątach mamy image022, zatem te trójkąty są przystające.

e) image005

Korzystamy z II cechy przystawania trójkątów, bkb.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w pierwszym trójkącie obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:

image017

image023

image024

image025

image026

image027

image028

Widzimy, że w pierwszym trójkącie mamy image029, w drugim trójkącie image030  zatem te trójkąty nie są przystające.

f) image006

Korzystamy z III cechy przystawania trójkątów, kbk.

Widzimy, że pierwszy trójkąt jest trójkątem równoramiennym ponieważ kąty przy podstawie mają równe miary.

Widzimy, że drugi trójkąt jest trójkątem równoramiennym, zatem kąty przy podstawie mają równe miary.

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa image007, zatem:

image031

Widzimy, że w obydwu trójkątach mamy image032, zatem te trójkąty są przystające.