Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.

Przykład 1

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy dowolne równanie pomnożyć przez image003.

image004

image005

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image006, w drugim image007.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników, równania układu dodajemy stronami:

image008

image009

image010

image011

Otrzymane równanie, czyli image011 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image012

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image013 do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.

image014

image015

image016

image017

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image018.

b) image019

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, pierwsze równanie pomnożymy przez image020, drugie pomnożymy przez image006.

image021

image022

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image023, w drugim image024.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image025

image026

image027

Otrzymane równanie, czyli image027 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image028

Wyznaczamy niewiadomą y w drugim równaniu:

image029

image030

image031

image032

image033

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

c) image034

Porządkujemy układ równań:

image035

image036

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image037.

image038

image039

image040

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image020, w drugim image037.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image041

image042

image043

Otrzymane równanie, czyli image043 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image044

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001 
b) image002 
c) image003 
d) image004 

Wykresy dwóch funkcji liniowych image001 oraz image002 przecinają się w punkcie A.

a) Oblicz współrzędne punktu A.

b) Narysuj wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych.

c) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są nie mniejsze niż wartości funkcji g?

Do wykresu funkcji liniowej image001 należą dane punkty P i Q. Ułóż układ równań z niewiadomymi a i b, oblicz współczynniki a i b oraz napisz wzór funkcji liniowej:

a) image002  b) image003 
c) image004  d) image005 

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba image001. Wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji liniowej g w punkcie o rzędnej 7. Wyznacz wzór funkcji f jeśli:

a) image002  b) image003 

Wykresy funkcji liniowych image001 oraz image002 przecinają się w punkcie C. Wiedząc, że wykres funkcji f przechodzi również przez punkty image003 i image004, oblicz współrzędne punktu C.

Wykresy trzech funkcji liniowych image001, image002 oraz image003 przecinają się w jednym punkcie. Wyznacz a.

Wyznacz wartości m i n tak, aby wykresy funkcji image001 oraz image002 przecinały się w punkcie image003.