Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.

Przykład 1

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy dowolne równanie pomnożyć przez image003.

image004

image005

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image006, w drugim image007.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników, równania układu dodajemy stronami:

image008

image009

image010

image011

Otrzymane równanie, czyli image011 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image012

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image013 do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.

image014

image015

image016

image017

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image018.

b) image019

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, pierwsze równanie pomnożymy przez image020, drugie pomnożymy przez image006.

image021

image022

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image023, w drugim image024.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image025

image026

image027

Otrzymane równanie, czyli image027 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image028

Wyznaczamy niewiadomą y w drugim równaniu:

image029

image030

image031

image032

image033

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

c) image034

Porządkujemy układ równań:

image035

image036

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image002.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image037.

image038

image039

image040

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image020, w drugim image037.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image041

image042

image043

Otrzymane równanie, czyli image043 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image044

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.