Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Rozwiązanie:

a) image001

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image008.

image009

image010

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image011, w drugim image008.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image012

image013

image014

image015

Otrzymane równanie, czyli image015 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image016

Po wyznaczeniu y wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image017 do drugiego równania w miejsce niewiadomej y.

image018

image019

image020

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image021.

b) image002

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image022.

image023

image024

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image025, w drugim image022.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image026

image027

image028

image029

Otrzymane równanie, czyli image029 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image031

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image022 do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.

image032

image033

image034

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image035.

c) image003

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image022.

image036

image037

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image022, w drugim image025.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image038

image039

image040

Otrzymane równanie, czyli image040 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image041

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.

d) image004

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image022.

image036

image037

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image022, w drugim image025.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image038

image039

image080

image040

Otrzymane równanie, czyli image040 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image041

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image050 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image051

image052

image053

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image054.

e) image005

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image011.

image055

image056

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image008, w drugim image011.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image057

image058

image059

image060

Otrzymane równanie, czyli image060 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image061

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image062 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image063

image064

image065

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image066.

f) image006

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image007.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, pierwsze równanie pomnożymy przez image067.

image068

image069

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image070, w drugim image071.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image072

image073

image074

Otrzymane równanie, czyli image074 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image075

Wyznaczamy niewiadomą y w pierwszym równaniu:

image076

image077

image078

image079

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.