Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Rozwiązanie:

a) image001

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image007

image008

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image010.

image011

image012

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image010, w drugim image013.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image014

image015

image016

image017

Otrzymane równanie, czyli image017 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image018

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image019 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image020

image021

image022

image023

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image024.

b) image002

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image025

image026

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image010.

image028

image029

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image030, w drugim image031.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image032

image033

image034

image035

Otrzymane równanie, czyli image035 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image036

Po wyznaczeniu y wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image013 do drugiego równania w miejsce niewiadomej y.

image037

image038

image039

image040

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image041.

c) image003

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image042

image043

image044

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image045.

image046

image047

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image031, w drugim image030.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image048

image049

image050

Otrzymane równanie, czyli image050 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image051

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.

d) image004

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image052

image053

image054

image055

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image010.

image056

image057

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image010, w drugim image013.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image058

image059

image060

image061

Otrzymane równanie, czyli image061 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image062

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli  do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.

image063

image064

image065

image066

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image067.

e) image005

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image068

image069

image070

image071

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że mamy już przeciwne współczynniki. można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez image072.

image073

image074

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image075, w drugim image076.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image077

image078

image079

Otrzymane równanie, czyli image079 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image080

Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.

f) image006

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image081

image082

image083

image084

image085

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image009.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, pierwsze równanie pomnożymy przez image086.

image087

image088

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image089, w drugim image090.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image091

image092

image093

Otrzymane równanie, czyli image093 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image094

Wyznaczamy niewiadomą y w pierwszym równaniu

image095

image096

image097

image098

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.