Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:

a) image001 
b) image002 
c) image003 
d) image004 

Rozwiązanie:

a) image001

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

image005

image001

image006

image007

image008

image009

image010

image011

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image013, w drugim image014.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image015

image016

image017

image018

Otrzymane równanie, czyli image018 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image019

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image014 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image020

image021

image022

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image023.

b) image002

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

image002

image024

image025

image026

image027

image028

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image029.

image030

image031

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image032, w drugim image029.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image033

image034

image035

image036

Otrzymane równanie, czyli image036 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image037

Po wyznaczeniu y wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image038 do drugiego równania w miejsce niewiadomej y.

image039

image040

image041

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image042.

c) image003

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia

image005

image043

image044

image003

image045

image046

image047

image048

image049

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image050.

image051

image052

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image050, w drugim image053.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image054

image055

image056

image057

Otrzymane równanie, czyli image057 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image058

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image059 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image060

image061

image062

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image063.

d) image004

Doprowadzamy równania do najprostszej postaci:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia

image043

image005

image044

image004

image064

image065

image066

image067

image068

image069

image070

image071

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image014.

image072

image073

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image074, w drugim image075.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image076

image077

image078

image079

Otrzymane równanie, czyli image079 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image080

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image013 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image081

image082

image083

image084

Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image085.