Wykresy funkcji liniowych image001 oraz image002 przecinają się w punkcie C. Wiedząc, że wykres funkcji f przechodzi również przez punkty image003 i image004, oblicz współrzędne punktu C.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy wzór funkcji image005.

Wiemy, że do wykresu funkcji image006 należy punkt image003, zatem:

image006

image007

image008

Wiemy, że do wykresu funkcji image006 należy punkt image004, zatem:

image006

image009

image010

Otrzymaliśmy układ równań:

image011

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej a lub b były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej b, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image013.

image014

image015

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej b, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image013, w drugim image016.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image017

image018

image019

image020

Otrzymane równanie, czyli image020 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image021

Po wyznaczeniu a wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image022 do drugiego równania w miejsce niewiadomej a.

image023

image024

image025

Zapisujemy wzór funkcji image006:

image026

Wyznaczamy współrzędne punktu C.

Wiemy, że wykresy funkcji image001 i image026 przecinają się w punkcie C, zatem:

image027

Przekształcamy równania do najprostszej postaci:

image028

image029

Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: image012.

Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez image013.

image030

image031

Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi image013, w drugim image016.

Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:

image032

image033

image034

image035

Otrzymane równanie, czyli image035 dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:

image036

Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli image037 do drugiego równania w miejsce niewiadomej x.

image038

image039

image040

Punkt C ma współrzędne image041.