Definicja 1

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb image001, która spełnia jednocześnie oba równania układu.

Definicja 2

Rozwiązać układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, to wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania albo stwierdzić, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Przykład 1

Na rysunku w jednym układzie współrzędnych naszkicowane są proste, będące wykresami dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

image002 oraz image003

image004

Te dwie proste przecinają się w punkcie o współrzędnych image005. Jest to jedyny punkt należący do obydwu prostych, zatem para liczb image005 jest jedynym rozwiązaniem układu równań:

image006

Wyróżniamy trzy rodzaje układów dwóch równań  pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

Układ oznaczony, gdy proste mają jeden punkt wspólny, układ ma wówczas jedno rozwiązanie.

Układ nieoznaczony, gdy proste są do siebie równoległe i ich wykresy pokrywają się, czyli mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, układ ma wówczas nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ sprzeczny, gdy proste są do siebie równoległe, ale nie mają żadnych punktów wspólnych, układ nie ma wówczas rozwiązań.

Przykład 2

Rozwiąż graficznie układ równań image007

Przekształcamy oba równania do postaci image008, a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

image009

image010

image011

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

image012

image013

image014

image015

image016

Odczytujemy z rysunku, że proste przecinają się w punkcie o współrzędnych:

image017

Układ równań jest oznaczony, para image018 jest jedynym rozwiązaniem tego układu.

Przykład 3

Rozwiąż graficznie układ równań image019

Przekształcamy oba równania do postaci image008, a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

image020

image021

image022

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

image014

image015

image023

Odczytujemy z rysunku, że proste pokrywają się (są opisane takimi samymi równaniami).

Układ równań jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 4

Rozwiąż graficznie układ równań image024

Przekształcamy oba równania do postaci image008, a następnie sporządzamy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych:

image025

image026

image027

Aby naszkicować wykres równania wyznaczamy współrzędne dwóch punktów:

image014

image015

image028

image029

image030

Odczytujemy z rysunku, że proste są do siebie równoległe, nie mają żadnych punktów wspólnych.

Układ równań jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.

Sprawdź, która z par liczb image001 spełnia podany układ równań:

a) image002  b) image003  c) image004 

Na poniższym rysunku przedstawiona jest ilustracja graficzna układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Czy ten układ jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny? W przypadku, gdy istnieje rozwiązanie układu, podaj je.

a) image001  b) image002  c) image003 

Poniższe układy równań są układami oznaczonymi. Rozwiąż graficznie każdy z nich. Pamiętaj o sprawdzeniu poprawności rozwiązania.

a) image001  b) image002  c) image003 

Rozwiąż graficznie układ równań:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Napisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego interpretację graficzną przedstawia poniższy rysunek. Podaj jego rozwiązanie (o ile istnieje).

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Dane jest równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Podaj przykład drugiego takiego równania, aby powstały układ był: oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny.

a) image001  b) image002  c) image003