Definicja 1

Łamana to figura geometryczna, która można przedstawić jako sumę skończonej liczby odcinków tak, aby:

- dowolne dwa odcinki miały co najwyżej jeden punkt wspólny,

- odcinki można było tak uporządkować, aby koniec każdego odcinka (ewentualnie oprócz ostatniego) był początkiem następnego.

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami łamanej, a końce boków – wierzchołkami łamanej.

image001

Definicja 2

Łamana zwyczajna to łamana, której odcinki spełniają następujące warunki:

- dwa odcinki mające wspólny koniec nie zawierają się w jednej prostej,

- dwa odcinki niemające wspólnego końca nie mają punktów wspólnych,

- każdy z punktów łamanej może być końcem co najwyżej dwóch jej boków.

Łamana zwyczajna jest zamknięta, jeśli początek pierwszego i koniec ostatniego odcinka się pokrywają.

image002

Definicja 3

Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną, wyciętą z płaszczyzny przez łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną.

image003

Wielokąt mający n boków nazywamy n-bokiem lub n-kątem.

Definicja 4

Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i niebędący bokiem.

Twierdzenie 1

Liczba przekątnych w n-kącie image004 określona jest wzorem:

image005

Przykład 1

Liczba przekątnych pewnego wielokąta jest 4 razy większa od liczby jego boków. Jaki to wielokąt?

Oznaczmy:

n – liczba boków wielokąta

image006

image007

image008

image009

image010

image011

image012

image013

image014

Rozwiązanie image012 odrzucamy image004. Szukany wielokąt to jedenastokąt.

Kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego to kąt, który zawiera dany wielokąt i w którego ramionach zawarte są dwa sąsiednie boki wielokąta, a wierzchołkiem jest punkt wspólny tych ramion.

image016

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego to kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

image017

Definicja 5

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają taką samą miarę.

Twierdzenie 2

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego określona jest wzorem:

image018, gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta image019.

Twierdzenie 3

W dowolnym wielokącie wypukłym suma wszystkich kątów zewnętrznych jest stała i wynosi image020.

Czy rysunek poniżej przedstawia łamaną? Odpowiedź uzasadnij.

image001

Oblicz liczbę przekątnych:

a) siedmiokąta

b) dwunastokąta.

Który wielokąt ma tyle samo boków co przekątnych?

Wyznacz wielokąt, którego liczba przekątnych jest:

a) 6 razy

b) 8 razy większa od liczby boków.

Wyznacz sumę miar kątów wewnętrznych:

a) dziewięciokąta

b) dwudziestokąta.

Oblicz liczbę przekątnych wielokąta, którego suma miar kątów wewnętrznych jest równa:

a) image001

b) image002

Ile stopni ma kąt wewnętrzny:

a) pięciokąta foremnego

b) dziesięciokąta foremnego?

Czy istnieje wielokąt, którego każdy kąt ma miarę:

a) image001

b) image002

c) image003

Oto schematyczny plan alejek w parku. Które alejki są równoległe?

Odpowiedź uzasadnij powołując się na odpowiednie twierdzenie.

image001

Wykaż, że liczba wszystkich odcinków łączących n punktów na płaszczyźnie, image001, z których żadne trzy punkty nie są współliniowe, jest równa image002.

Na przyjęciu spotkało się 12 osób. Ile nastąpiło powitań, jeśli każda osoba przywitała się z każdą inną osobą?

W turnieju siatkówki spotkało się 8 drużyn, przy czym każda drużyna rozegrała z inną drużyną 2 mecze. Ile meczów rozegrano w turnieju?