Wykaż, że liczba wszystkich odcinków łączących n punktów na płaszczyźnie, image001, z których żadne trzy punkty nie są współliniowe, jest równa image002.

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy sytuację, gdy mamy 3 punkty na płaszczyźnie, z których żadne punkty nie są współliniowe:

image003

Widzimy, że z punktu A możemy poprowadzić 2 odcinki, podobnie z punktu B i C, zatem wszystkich możliwych do narysowania odcinków jest:

image004

Zauważamy, że odcinki AB i BA, AC i CA, BC i CB się pokrywają, zatem są liczone podwójnie.

Przy trzech punktach na płaszczyźnie możliwych do narysowania odcinków jest zatem:

image005

Rozpatrzmy sytuację, gdy mamy 4 punkty na płaszczyźnie, z których żadne trzy punkty nie są współliniowe:

image006

Widzimy, że z punktu A możemy poprowadzić 3 odcinki, podobnie z punktu B, C i D, zatem wszystkich możliwych do narysowania odcinków jest:

image007

Zauważamy, że odcinki AB i BA, AC i CA, AD i DA, BC i CB, BD i DB, CD i DC się pokrywają, zatem są liczone podwójnie.

Przy czterech punktach na płaszczyźnie możliwych do narysowania odcinków jest zatem:

image008

Rozpatrzmy sytuację, gdy mamy 5 punkty na płaszczyźnie, z których żadne trzy punkty nie są współliniowe:

image009

Widzimy, że z punktu A możemy poprowadzić 4 odcinki, podobnie z punktu B, C, D i E, zatem wszystkich możliwych do narysowania odcinków jest:

image010

Zauważamy, że odcinki AB i BA, AC i CA, AD i DA, AE i EA, BC i CB, BD i DB, BE i EB, CD i DC, CE i EC, DE i ED się pokrywają, zatem są liczone podwójnie.

Przy czterech punktach na płaszczyźnie możliwych do narysowania odcinków jest zatem:

image011

Wniosek:

W sytuacji, gdy mamy n punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy punkty nie są współliniowe, z każdego punktu możemy poprowadzić image012 odcinków.

Wiemy, że połowa odcinków się pokrywa, zatem możliwych do narysowania jest image002 odcinków.