Definicja 1

Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

image001

Twierdzenie 1

W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.

Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta lub jego przedłużenia, na który została opuszczona wysokość nazywamy spodkiem wysokości trójkąta.

Wysokości w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image002

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami na podstawę dzieli ją na dwie równe części.

- trójkąt równoboczny:

image003

W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyrażona jest wzorem:

image004

- trójkąt prostokątny:

image005

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość image006 i image007, dla których wyrażona jest wzorem:

image008

Przykład 1

Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 5 cm i 12 cm.

image009

Wiemy, że:

image010

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru: image008

image011

image012

image013

image014

Obliczamy pole trójkąta:

image010

image015

image016

Definicja 2

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

image017

Twierdzenie 2

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Środkowe w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image018

W trójkącie równoramiennym środkowa pokrywa się z wysokością poprowadzoną z wierzchołka między ramionami.

- trójkąt równoboczny:

image019

W trójkącie równobocznym wszystkie środkowe pokrywają się z wysokościami. Wynika stąd, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.

- trójkąt prostokątny:

image020

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy przeciwprostokątnej.

Przykład 2

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm, a środkowa CE ma długość 16 cm. Oblicz długość środkowej AD.

image021

Wiemy, że:

image022

image023

image024

image025

Obliczamy długość odcinka AO korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

Obliczamy długość odcinka OD:

image024

image033

image034

image035

image036

Obliczamy długość środkowej AD:

image025

image037

image038

Oblicz wysokość:

a) w trójkącie prostokątnym równoramiennym, poprowadzoną na przeciwprostokątną o długości 2;

b) w trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 14;

c) w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość 5, 5, 6 poprowadzoną na podstawę.

Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku a wysokość jest równa image001.

Następnie oblicz długość boku trójkąta równobocznego w przypadku, gdy jest on o 3 cm dłuższy od wysokości. Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do 0,1 cm.

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa image001Następnie oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego w przypadku, gdy najkrótsza wysokość jest o 5 cm krótsza od przyprostokątnej. Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do 1 cm.

Oblicz wysokość CD trójkąta ABC na rysunku poniżej:

a) image001

b) image002

c) image003

Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości:

a) 4 cm; 9 cm

b) 3 cm; 1,2 dm

c) 0,9 dm; 1,6 dm

W trójkącie równoramiennym o obwodzie L wysokość poprowadzona na podstawę ma długość h. Wyznacz długości boków tego trójkąta jeśli:

a) L = 50, h = 5

b) L = 8, h = 2

c) L = 48, h = 12

W trójkącie równobocznym odległość środka ciężkości od boków jest równa 1 cm. Oblicz:

a) wysokość trójkąta

b) długość boku trójkąta.

Rozwiązanie:

a) wysokość trójkąta

image001

Wiemy, że środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia środkowych. Wiemy, że w trójkącie równobocznym trzy środkowe pokrywają się z wysokościami trójkąta. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, zatem:

image002

image003

image004

b) długość boku trójkąta

Wiemy, że w trójkącie równobocznym wysokość wyrażona jest wzorem:

image005

image004

Otrzymujemy:

image006

image007

image008

image009

image010

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 15 cm i 20 cm. Oblicz:

a) wysokość h trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego;

b) odległość spodka wysokości h od środka przeciwprostokątnej;

c) różnicę długości środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i wysokości h.

Rozwiązanie:

a) wysokość h trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego

image001

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image002

image003

image004

image005

image006

Obliczamy pole trójkąta korzystając z przyprostokątnych:

image007

image008

image009

image010

Obliczamy pole trójkąta korzystając z przeciwprostokątnej i wysokości:

image007

image011

Otrzymujemy:

image012

image013

image014

b) odległość spodka wysokości h od środka przeciwprostokątnej

Wiemy, że środkowa w trójkącie prostokątnym wychodząca z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, zatem:

image015

image016

image006

image017

Oznaczmy odległość spodka wysokości h od środka przeciwprostokątnej zmienną d. Długość odcinka d wyznaczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image018

image019

image020

image021

image022

c) różnicę długości środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i wysokości h

image017

image014

image023

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym mają długość image001. Oblicz:

a) długości środkowych w tym trójkącie;

b) odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta prostego.

Rozwiązanie:

a) długości środkowych w tym trójkącie

image002

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image004

image005

image006

image007

image008

Wiemy, że środkowa w trójkącie prostokątnym wychodząca z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, zatem:

image009

image007

image010

Trójkąt jest równoramienny, zatem dwie pozostałe środkowe są sobie równe.

Obliczamy długość image011 korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image012

image013

image014

image015

image016

image017

b) odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta prostego

Wiemy, że środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, zatem:

image010

image018

Oblicz długości środkowych w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość:

a) 18 cm, 15 cm, 15 cm

b) 16 cm, 10 cm, 10 cm

Rozwiązanie:

a) 18 cm, 15 cm, 15 cm

image001

Obliczamy długość pierwszej środkowej image002 korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image004

image005

image006

image007

Trójkąt jest równoramienny, zatem dwie pozostałe środkowe są sobie równe.

Wiemy, że środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

image008

Obliczamy długość  korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image007

image010

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017

b) 16 cm, 10 cm, 10 cm

image018

Obliczamy długość pierwszej środkowej image002 korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image019

image020

image021

image022

Trójkąt jest równoramienny, zatem dwie pozostałe środkowe są sobie równe.

Wiemy, że środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

image023

Obliczamy długość  korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image022

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

image031

Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego, jeśli środkowe w tym trójkącie mają długość:

a) 6 cm, 6 cm, 9 cm

b) 9 cm, 9 cm, 6 cm

Rozwiązanie:

a) 6 cm, 6 cm, 9 cm

image001

Wiemy, że środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

image002

Wyznaczamy długość odcinka a korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image004

image005

image006

image007

Wyznaczamy długość odcinka b korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image008

image009

image010

image011

image012

image013

Boki trójkąta mają długość: image014

b) 9 cm, 9 cm, 6 cm

image015

Wiemy, że środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

image016

Wyznaczamy długość odcinka a korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image017

image018

image019

image020

image021

image022

Wyznaczamy długość odcinka b korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image003

image023

image024

image025

image026

image027

image028

Boki trójkąta mają długość: image029

Wykaż, że jeśli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona to ten trójkąt jest prostokątny.

Rozwiązanie:

image001

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa image002, zatem:

image003

image004

image005

Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt K jest środkiem boku AB. Odcinek DK przecina się z przekątną AC w punkcie P. Wykaż, że image001.

Rozwiązanie:

image002

Wiemy, że odcinki AO i DK to środkowe w trójkącie ADB.

Wiemy, że w dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, zatem:

image003

image004

image005

image006

Wiemy, że przekątne w równoległoboku przecinają się, dzieląc się na połowy, zatem:

image007

Obliczamy długość przekątnej AC:

image008

image009

image010

image011