Definicja 1

Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

image001

Twierdzenie 1

W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.

Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta lub jego przedłużenia, na który została opuszczona wysokość nazywamy spodkiem wysokości trójkąta.

Wysokości w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image002

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami na podstawę dzieli ją na dwie równe części.

- trójkąt równoboczny:

image003

W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyrażona jest wzorem:

image004

- trójkąt prostokątny:

image005

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość image006 i image007, dla których wyrażona jest wzorem:

image008

Przykład 1

Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 5 cm i 12 cm.

image009

Wiemy, że:

image010

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru: image008

image011

image012

image013

image014

Obliczamy pole trójkąta:

image010

image015

image016

Definicja 2

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

image017

Twierdzenie 2

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

Środkowe w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image018

W trójkącie równoramiennym środkowa pokrywa się z wysokością poprowadzoną z wierzchołka między ramionami.

- trójkąt równoboczny:

image019

W trójkącie równobocznym wszystkie środkowe pokrywają się z wysokościami. Wynika stąd, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.

- trójkąt prostokątny:

image020

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy przeciwprostokątnej.

Przykład 2

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm, a środkowa CE ma długość 16 cm. Oblicz długość środkowej AD.

image021

Wiemy, że:

image022

image023

image024

image025

Obliczamy długość odcinka AO korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

Obliczamy długość odcinka OD:

image024

image033

image034

image035

image036

Obliczamy długość środkowej AD:

image025

image037

image038