Tożsamością trygonometryczną nazywamy równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych i która jest prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych.

Twierdzenie 1

image001, jeśli image002

image003, jeśli image004

image005, jeśli image006

image007, jeśli image008

Równość image001 nazywamy jedynką trygonometryczną.

Przykład 1

Wiedząc, że image009 i image010 jest kątem ostrym oblicz image011.

Wyznaczamy image012 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image009

image013

image014

image015

image016

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image016

image009

image019

image020

image021

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image023

image016

image009

image024

image025

image026

Warto zauważyć, że:

image027

Przykład 2

Wiedząc, że image028 i image010 jest kątem rozwartym oblicz image029.

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image027

image028

image030

Wyznaczamy image012 korzystając ze wzoru:

image031

image032

image028

image033

Wyznaczamy image034 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image033

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

Wyznaczamy image012:

image033

image041

image042

image043

Twierdzenie 3 (wzory redukcyjne)

Jeśli image010 jest kątem ostrym, to:

image044

image045

image046

image047

Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego image001,  jeśli:

a) image002     b) image003     c) image004     d) image005

e) image006     f) image007     g) image008     h) image009

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością, jeśli image001 jest katem ostrym.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Wykaż, że jeśli image001 jest kątem ostrym, to podana równość jest tożsamością.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Wykaż, że jeśli image001 jest kątem ostrym, to:

a) image002

b) image003

Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Wykaż, że:

a) image001

b) image002

Ustaw liczby w porządku rosnącym, bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

W trójkącie ostrokątnym ABC naprzeciw boków długości a, b, c, leżą odpowiednio kąty image001. Bez wyznaczania miar kątów trójkąta rozstrzygnij, który bok trójkąta jest najkrótszy, a który najdłuższy, jeśli:

a) image002

b) image003

c) image122

d) image082