Tożsamością trygonometryczną nazywamy równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych i która jest prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych.

Twierdzenie 1

image001, jeśli image002

image003, jeśli image004

image005, jeśli image006

image007, jeśli image008

Równość image001 nazywamy jedynką trygonometryczną.

Przykład 1

Wiedząc, że image009 i image010 jest kątem ostrym oblicz image011.

Wyznaczamy image012 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image009

image013

image014

image015

image016

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image016

image009

image019

image020

image021

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image023

image016

image009

image024

image025

image026

Warto zauważyć, że:

image027

Przykład 2

Wiedząc, że image028 i image010 jest kątem rozwartym oblicz image029.

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image027

image028

image030

Wyznaczamy image012 korzystając ze wzoru:

image031

image032

image028

image033

Wyznaczamy image034 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image033

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

Wyznaczamy image012:

image033

image041

image042

image043

Twierdzenie 3 (wzory redukcyjne)

Jeśli image010 jest kątem ostrym, to:

image044

image045

image046

image047

Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego image001,  jeśli:

a) image002     b) image003     c) image004     d) image005

e) image006     f) image007     g) image008     h) image009

Rozwiązanie:

a) image002

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image002

image013

image014

image015

image016

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image002

image016

image019

image020

image021

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image023

image002

image016

image024

image025

image026

image027

b) image003

Wyznaczamy image029 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image003

image030

image031

image032

image033

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image003

image033

image034

image035

image036

image037

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image023

image003

image033

image038

image039

image040

c) image004

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image042

image043

image044

Wyznaczamy image029 korzystając ze wzoru:

image045

image046

image043

image047

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image047

image048

image049

image050

image051

image052

image053

Wyznaczamy image029:

image047

image053

image054

image055

d) image005

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image057

image005

image058

image059

Wyznaczamy image029 korzystając ze wzoru:

image045

image046

image058

image060

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image060

image061

image062

image063

image064

image065

image066

Wyznaczamy image029:

image060

image066

image067

image068

e) image006

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image006

image069

image070

image071

image072

image073

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image006

image073

image074

image075

image076

image077

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image042

image076

image078

f) image007

Wyznaczamy image029 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image007

image079

image080

image081

image082

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image007

image082

image083

image084

image085

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image042

image085

image086

image087

g) image008

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image042

image008

image088

Wyznaczamy image029 korzystając ze wzoru:

image045

image046

image008

image089

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image089

image090

image091

image092

image093

image094 

image095

image096

Wyznaczamy image029:

image089

image096

image097

image098

h) image009

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image057

image009

image099

image100

Wyznaczamy image029 korzystając ze wzoru:

image045

image046

image100image101 

Wyznaczamy image011 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image012

image101

image102

image103

image104

image105

image106

image107

image108
image109

image110

image111

Wyznaczamy image029:

image101

image111

image112

image113

image114

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

Wyznaczamy image005 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image006

image002

image007

image008

image009

image010

otrzymujemy:

image011

b) image004

image002

image010

otrzymujemy:

image012

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

Wyznaczamy sinimage001 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image005

image002

image006

image007

image008

otrzymujemy:

image009

b) image004

image008

image010

image011

Wyznaczamy image012, korzystając ze wzoru:

image013

image002

image011

image014

image015

image016

image017

otrzymujemy:

image008

image017

image018

image019

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

Wyznaczamy image005, korzystając ze wzoru:

image006

image002

image007

image008

otrzymujemy:

image009

image010

b) image004

Wyznaczamy image011 korzystając ze wzoru:

image012

image013

image002

image014

Wyznaczamy image015 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image016

image014

image017

image018

image019

image020

image021

image022

image023

Wyznaczamy image011:

image014

image023

image024

otrzymujemy:

image025

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

image002

image005

image006

Wyznaczamy image007 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image008

image006

image009

image010

image011

image012

b) image004

image002

image014

image015

image016

Z poprzedniego przykładu wiemy, że:

image011

image017

image018

image019

otrzymujemy:

image020

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

image002

image006

image007

image008

Wyznaczamy image009 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image010

image002

image011

image012

image013

image014

image015

image016

image017

b) image004

image018

image012

image019

image020

image021

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością, jeśli image001 jest katem ostrym.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Rozwiązanie:

a) image002

Korzystamy z lewej strony równania ze wzorów skróconego mnożenia:

image006

image007

Wiemy, że:

image008

image009

image010

image011

b) image003

image012

Przekształcamy lewą stronę równania:

image013

Korzystamy z lewej strony równania ze wzoru skróconego mnożenia:

image014

image015

image016

Wiemy, że:

image008

image017

image018

image011

c) image004

Przekształcamy lewą stronę równania:

image019

Korzystamy z lewej strony równania ze wzoru skróconego mnożenia:

image020

image021

image022

Wiemy, że:

image008

image018

image011

d) image005

image023

Wiemy, że:

image024

image025

Obliczamy wartość wyrażenia image026:

image027

otrzymujemy:

image028

image029

image011