Tożsamością trygonometryczną nazywamy równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych i która jest prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych.

Twierdzenie 1

image001, jeśli image002

image003, jeśli image004

image005, jeśli image006

image007, jeśli image008

Równość image001 nazywamy jedynką trygonometryczną.

Przykład 1

Wiedząc, że image009 i image010 jest kątem ostrym oblicz image011.

Wyznaczamy image012 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image009

image013

image014

image015

image016

Wyznaczamy image017, korzystając ze wzoru:

image018

image016

image009

image019

image020

image021

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image023

image016

image009

image024

image025

image026

Warto zauważyć, że:

image027

Przykład 2

Wiedząc, że image028 i image010 jest kątem rozwartym oblicz image029.

Wyznaczamy image022, korzystając ze wzoru:

image027

image028

image030

Wyznaczamy image012 korzystając ze wzoru:

image031

image032

image028

image033

Wyznaczamy image034 korzystając z jedynki trygonometrycznej:

image001

image033

image035

image036

image037

image038

image039

image040

image041

Wyznaczamy image012:

image033

image041

image042

image043

Twierdzenie 3 (wzory redukcyjne)

Jeśli image010 jest kątem ostrym, to:

image044

image045

image046

image047

Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego image001,  jeśli:

a) image002     b) image003     c) image004     d) image005

e) image006     f) image007     g) image008     h) image009

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością, jeśli image001 jest katem ostrym.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Wykaż, że jeśli image001 jest kątem ostrym, to podana równość jest tożsamością.

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

Wykaż, że jeśli image001 jest kątem ostrym, to:

a) image002

b) image003

Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Wykaż, że:

a) image001

b) image002

Ustaw liczby w porządku rosnącym, bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002 oblicz:

a) image003

b) image004

Wiedząc, że image001 jest kątem ostrym oraz image002, oblicz:

a) image003

b) image004

Rozwiązanie:

a) image003

image005

image006

image007

Korzystamy ze wzoru:

image008

image009

image011

b) image004

image012

Korzystamy z poprzedniego przykładu:

image011

oraz ze wzoru:

image008

image013

W trójkącie ostrokątnym ABC naprzeciw boków długości a, b, c, leżą odpowiednio kąty image001. Bez wyznaczania miar kątów trójkąta rozstrzygnij, który bok trójkąta jest najkrótszy, a który najdłuższy, jeśli:

a) image002

b) image003

c) image122

d) image082

Rozwiązanie:

a) image002

image004

image005

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas:

image007

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta image006 wzrasta wartość image008.

image009

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

image010

b) image003

image011

image012

image013

Korzystamy ze wzoru:

image014

image015

image024

image016

image017

image018

image019

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas:

image020

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta image006 maleje wartość image021.

image022

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

image023

c) image122

image025

Wyznaczamy wysokość trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

image033

Otrzymujemy:

image034

image035

image036

image037

Długości boków mogą mieć różną długość w zależności od image038

Przyjmijmy image039, wówczas:

image040

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

image041

image042

image043

image044

image045

image046

image047

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

image048

image049

image050

image051

Otrzymujemy:

image052

image053

image054

image055

image056

image057

image058

image059

image060

Korzystamy ze wzoru:

image014

image061

image062

image063

image064

image065

image066

image067

image068

image069

image070

image071

Porównujemy sinusy kątów:

image072

image073

image060

Wiemy, że:

image074

image075

image076

image077

image078

image079

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta image006 wzrasta wartość image008.

Otrzymujemy:

image080

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

image081

d) image082

image083

image084

image085

image086

image087

image088

Wyznaczamy długość przyprostokątnych w trójkątach prostokątnych korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image089

image090

image091

image092

image093

image094

image095

image096

image097

image098

image099

Długości boków mogą mieć różną długość w zależności od image038

Przyjmijmy image100, wówczas:

image101

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

image041

image102

image103

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

image048

image104

image105

image106

Otrzymujemy:

image107

image108

image109

image110

image111

image112

image113

image114

Porównujemy sinusy kątów:

image115

image116

image114

Wiemy, że:

image074

image117

image118

image119

Wiemy, że jeśli kąt image006 jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta image006 wzrasta wartość image008.

Otrzymujemy:

image120

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

image121