Definicja 1

Liczba naturalna image001 jest podzielna przez liczbę naturalną image002, gdzie image003 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna image004, dla której image005.

Liczbę image002 nazywamy dzielnikiem liczby image001, natomiast o liczbie image001 mówimy, że jest wielokrotnością liczby image002.

Przykład 1

Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to image001.

image006

zatem

image007

Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn liczby image008 i liczby image009, a więc dla dowolnej liczby naturalnej image001 suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez image008.

Definicja 2

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną image001 większą od image010, której jedynymi dzielnikami są image010 i image001.

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną image001 większą od image010, która nie jest liczbą pierwszą.

Liczby image011 oraz image010 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przykład 2

a) Podaj sześć liczb pierwszych zaczynając od najmniejszej:

image012

b) Podaj sześć kolejnych liczb złożonych zaczynając od image017:

image013

Przykład 3

Wypisz wszystkie dzielniki liczby image014:

image015

Cechy podzielności liczb naturalnych

liczba naturalna image001    

cecha podzielności przez liczbę image001

2

ostatnią cyfrą liczby jest image016

3

suma cyfr liczby jest podzielna przez image008

4

dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez image017

5

ostatnią cyfrą liczby jest image018

6

liczba jest podzielna przez image019 i przez image008

8

trzy ostatnie cyfry to image011 lub tworzą liczbę podzielną przez image020

9

suma cyfr liczby jest podzielna przez image021

10

ostatnią cyfrą liczby jest image011

25

dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę image022 lub są zerami

Przykład 4

Liczba image023:

- jest podzielna przez image019, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest image020

- jest podzielna przez image008, ponieważ suma jej cyfr wynosi image075 i jest podzielna przez image008

- nie jest podzielna przez image017, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę image024, a ta nie jest podzielna przez image017

- nie jest podzielna przez image025, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest image020

- jest podzielna przez image026, ponieważ jest podzielna przez image019 i przez image008

- nie jest podzielna przez image020, ponieważ jej trzy ostatnie cyfry nie są zerami i liczba utworzona z trzech ostatnich liczb, czyli image027, nie jest podzielna przez image020

- nie jest podzielna przez image021, ponieważ suma jej cyfr wynosi image075 i nie jest podzielna przez image021

- nie jest podzielna przez image028, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8

- nie jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie liczby nie tworzą liczby image022, ani nie są zerami.

Definicja 3

Największym wspólnym dzielnikiem (image029) liczb image030 i image031 nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb image030 i image031 i zapisujemy image032.

Najmniejszą wspólną wielokrotnością (image033) liczb image030 i image031 nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, różną od zera,  która jest podzielna przez każdą z liczb image030 i  image031 i zapisujemy image034.

Przykład 5

Znajdziemy image035 i image036

Największy wspólny dzielnik

image035

Wyznaczamy rozkład liczb image038 i image039 na czynniki pierwsze (wykonujemy dzielenie liczby przez najmniejsze możliwe większe od image010 naturalne dzielniki tych liczb)

Wykonujemy dzielenie liczby image038

image040

image041

image042

Zatem liczbę image038 możemy zapisać jako:

image043

Wykonujemy dzielenie liczby image039

image044

image045

image040

image041

image042

Zatem liczbę image039 możemy zapisać jako:

image046

Zauważamy, że w rozkładach na czynniki pierwsze liczb image038 i image039 powtarza się image047, zatem

image048

Najmniejsza wspólna wielokrotność

image036

Już wiemy, że image043 oraz image046. Wyznaczając image036 bierzemy po uwagę wszystkie czynniki, które nie powtarzają się w obydwu rozkładach, zatem image047 z liczby image038 i image049 z liczby image039.

image050

image051

Twierdzenie 1

Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich image030 i image031, prawdziwa jest równość

image052

Twierdzenie 2

Dla dowolnych liczb naturalnych image001 i image002, gdzie image003 istnieje tylko jedna para liczb naturalnych image053 i image054, dla których image055, gdzie image056.

Reszta z dzielenia liczb całkowitych jest równa image011 lub jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przykład 6

Jakie reszty możemy otrzymać w wyniku dzielenia liczb naturalnych przez image008?

Reszta z dzielenia jest liczbą naturalną, która jest mniejsza od dzielnika, zatem w wyniku dzielenia liczby naturalnej przez image008, możemy otrzymać następujące reszty:

image057

Przykład 7

image058 ponieważ image059

image060 ponieważ image061

image062 ponieważ image063

image064 ponieważ image065

Definicja 5

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez image019.

Dla dowolnej liczby naturalnej image001 liczba parzysta image004 ma postać:

image066

Liczbę całkowitą nazywamy liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie podzielna przez image019.

Dla dowolnej liczby naturalnej image001 liczba nieparzysta image004 ma postać:

image067

Przykład 8

Obliczmy resztę z dzielenia przez image008 liczby image068, gdzie image069.

Reszta z dzielenia może być image011  lub liczbą naturalną dodatnią, zatem przed jej wyznaczeniem przekształcimy nasze wyrażenie image068

image070

image076

image077

Wyrażenie image072 jest liczbą całkowitą, ponieważ image069, zatem wyrażenie image073 jest liczbą całkowitą podzielną przez image008.

Wniosek:

Wyrażenie image074 to liczba całkowita, która przy dzieleniu przez image008 daje resztę image019.

Liczby image001 i image002 rozłóż na czynniki pierwsze. Następnie wyznacz image003 oraz image004.

a) image005  b) image006 
c) image007  d) image008 

Na podstawie odpowiednich cech podzielności liczb naturalnych podaj, które z podanych liczb image001 są dzielnikami liczby:

a) 40008     b) 556812     c) 209370     d) 45000

Litera X oznacza w liczbie 8015X cyfrę jedności. Podaj, które cyfry można wpisać w miejsce X, aby liczba ta była podzielna:

a) przez 9     b) przez 5     c) przez 4

d) przez 3 i nie była podzielna przez 2     e) przez 8

Liczba image001 jest podzielna przez image002, zaś image003. Oceń, czy podane poniżej liczby są również podzielne przez image002:

a) image004  b) image005  c) image006 
d) image007  e) image008  f) image009 

Liczby image001 i image002 są liczbami pierwszymi większymi od image003. Jaką liczbą pierwszą czy złożoną jest liczba image004 oraz liczba image005?

Wypisz wszystkie liczby całkowite nie mniejsze od image001 i jednocześnie nie większe niż image002. Ile jest wśród nich liczb:

a) naturalnych  b) pierwszych  c) złożonych 
d) parzystych  e) nieparzystych  f) podzielnych przez image003? 

Wypisz elementy zbioru:

a) image001  b) image002 
c) image003  d) image004 
e) image005  f) image006 

Zapisz:

a) trzy kolejne liczby naturalne, z których największą jest liczba image001;

b) trzy kolejne liczby parzyste, z których najmniejszą jest image002;

c) trzy kolejne liczby nieparzyste, z których największą jest image003;

d) w postaci ogólnej liczbę naturalną, która w wyniku dzielenia przez image004 daje resztę image005;

e) w postaci ogólnej liczbę całkowitą, która w wyniku dzielenia przez image005 daje resztę image006;

f) w postaci ogólnej dwie kolejne liczby naturalne, które w wyniku dzielenia przez image006 dają resztę image007.

Liczba image001 jest całkowita. Podaj resztę z dzielenia liczby image002 przez liczbę image003, jeśli:

a) image004  b) image005  c) image006 
d) image007  e) image008  f) image009 

Ile jest równa reszta z dzielenia przez image001 sumy trzech kolejnych liczb całkowitych:

a) nieparzystych     b) parzystych     c) niepodzielnych przez image002?

Czy suma czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez image001? Odpowiedź uzasadnij.

Czy suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez image001? Odpowiedź uzasadnij.

Liczba naturalna image001 w wyniku dzielenia przez image002 daje resztę image003, zaś liczba naturalna image004 w wyniku podzielenia przez image002 daje resztę image005. Jaką resztę otrzymamy w wyniku podzielenia przez image002 liczby:

a) image006     b) image007     c) image008     d) image009     e) image010     f) image011     

Dane są dwie kolejne liczby całkowite image001 i image002, gdzie image003. Liczba image001 w wyniku podzielenia przez image004 daje resztę image005. Wyznacz resztę z podzielenia liczby image006:

a) przez image007     b) przez image008     c) przez image009     d) przez image004

Wyznacz wszystkie naturalne liczby n, dla których:

a) liczba image001 jest naturalna     b) liczba image002 jest całkowita