spolecznosc      wesprzyj


Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy.

Przykład 1

Wyznacz dziedzinę nierówności:

a) image001

image002

b) image003

image004

image005

image006

c) image007

image008

image009

image010

image011

Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczba image012 oraz image013 spełnia nierówność
image014

dla image015 mamy

image014

image016 

image017

image018

Liczba image012 nie spełnia nierówności image014, gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa

dla image019 mamy
image014

image020

image021

image022

Liczba image013 spełnia nierówność image014, gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa.

Definicja 1

Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność.

Definicja 2

Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność.

Przykład 3

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:

a) image023

Wyznaczamy dziedzinę

image024

image025

Zauważamy, że nierówność image026 jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem

image027

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

image028

image029

b) image030

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Zauważamy, że nierówność image030 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem

image031

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

image032

image033

Definicja 3

Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie.

Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność:

a) image034

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Rozwiązujemy nierówność

image035

image036

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

image037

image038

b) image039

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Rozwiązujemy nierówność

image040

Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem

image041

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

image042

image043

c) image044

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Rozwiązujemy nierówność

image045

Zauważamy, że wyrażenie image046 jest liczbą ujemną, gdyż image047, zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny

image048

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

image049

image050

Definicja 4

Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.

Przykład 5

Rozwiąż nierówność image051.

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Zauważamy, że wyrażenie image052 jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność image051jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową.

Definicja 5

Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności.

Przykład 6

Rozwiąż nierówność image053.

Wyznaczamy dziedzinę

image002

Rozwiązujemy nierówność

image054

image055

Zauważamy, że wyrażenie image052 jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność image055.