W trójkącie równoramiennym ABC dwusieczne kątów przy podstawie AB przecinają się w punkcie O. Wykaż, że jeśli image001, to trójkąt jest równoboczny.

Rozwiązanie:

Wiemy, że trójkąt ABC jest równoramienny, zatem miary kątów przy podstawie AB są sobie równe:

image002

Oznaczmy:

image003

image001

image004

image005

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa image006, zatem:

- w trójkącie ABC:

image007

image008

image009

- w trójkącie AOB:

image010

image011

image012

image013

Otrzymujemy:

image009

image013

image014

image015

image016

image017

image013

image018

image019

Wszystkie kąty wewnętrzne trójkąta ABC mają miarę image020, zatem trójkąt jest równoboczny.