W trapezie ABCD, w którym image001, poprowadzono przekątną DB. Niech punkty K, L, M oznaczają odpowiednio środki odcinków AD, DB, BC. Wykaż, że:

a) punkty K, L, M są współliniowe;

b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC.

Rozwiązanie:

a) punkty K, L, M są współliniowe

Wiemy, że jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.

image002

image003

W trapezie ABCD:

image001

W trójkącie ABD:

image004

W trójkącie DCB:

image005

Zatem

image006

Wiemy, że dwie proste mogą:

- mieć jeden punkt wspólny, nie są wówczas równoległe;

- nie mieć punktów wspólnych – proste równoległe;

- mieć wszystkie punkty wspólne – proste równoległe – pokrywają się.

Wiemy, że odcinki KL i LM są do siebie równoległe i mają punkt wspólny, zatem muszą być współliniowe.

b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC

image007

image008