Przykład 1.

Rozwiąż równanie image001 wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.

Wyrażenie image002 oznacza odległość liczby x od liczby 4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 4 wynosi 3.

image003

Szukane liczby to 1 i 7, zatem:

image004

Przykład 2.

Napisz równanie z wartością bezwzględną typu image005, którego zbiorem rozwiązań jest zbiór:

a) image006

Liczby -7 i 7 są położone w odległości 7 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

image007

image008

b) image009

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -4 i 6:

image010

Liczby -4 i 6 są położone w odległości 5 od liczby 1 na osi liczbowej, zatem:

image011

Przykład 3.

Rozwiąż równanie:

a) image012

Równanie image012 ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ istnieje tylko jedna liczba rzeczywista, której odległość od liczby 6 jest równa 0, jest to liczba 6.

image013

b) image014

Równanie image014 jest sprzeczne, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

Twierdzenie 1.

Jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image015

Przykład 4.

Korzystając z twierdzenia 1 rozwiąż równanie image016.

image016

Rozpatrujemy dwa przypadki: image017

Pierwszy przypadek:

image018

image019

image020

Drugi przypadek:

image021

image022

image023

Otrzymujemy:

image024

Przykład 5.

Rozwiąż graficznie równanie image001.

Szkicujemy wykresy funkcji image025 i image026 w jednym układzie współrzędnych:

image027

image028

image029

Otrzymujemy:

image004

Rozwiąż równanie image001 na trzy sposoby:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej,

b) korzystając z twierdzenia 1,

c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych.

Rozwiąż dane równanie, wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Napisz równanie z niewiadomą x, typu image001, jeśli dany jest jego zbiór rozwiązań:

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

e) image006

f) image007.

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Podaj przykład równania z wartością bezwzględną:

a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi,

b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków,

c) które ma dwa rozwiązania ujemne,

d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna.