Szczegóły

Odsłony: 17

Rozwiąż równanie  na trzy sposoby:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej,

b) korzystając z twierdzenia 1,

c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej

Przekształcamy wyrażenie  do postaci :

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby -2. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -2 wynosi 3.

Szukane liczby to -5 i 1, zatem:

b) korzystając z twierdzenia 1

Rozpatrujemy dwa przypadki: 

Pierwszy przypadek:

Drugi przypadek:

Otrzymujemy:

c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

Otrzymujemy:

Szczegóły

Odsłony: 27

Rozwiąż dane równanie, wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Rozwiązanie:

a) 

Przekształcamy wyrażenie  do postaci :

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 0. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 0 wynosi 1.

b) 

Przekształcamy wyrażenie  do postaci :

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby -4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -4 wynosi 9.

c) 

Przekształcamy wyrażenie  do postaci :

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 8. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 8 wynosi 5.

d) 

Wiemy, że , zatem:

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 5. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 5 wynosi 2.

e) 

Wiemy, że , zatem:

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby -1. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -1 wynosi 4.

f) 

Wiemy, że , zatem:

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 4 wynosi 6.

Szczegóły

Odsłony: 8

Napisz równanie z niewiadomą x, typu , jeśli dany jest jego zbiór rozwiązań:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) .

Rozwiązanie:

Wiemy, że środkiem odcinka wyznaczonego przez dwa punkty a i b na osi liczbowej jest punkt, którego współrzędna jest średnią arytmetyczną liczb a i b, czyli

a) 

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb 3 i 11:

Liczby 3 i 11 są położone w odległości 4 od liczby 7 na osi liczbowej, zatem:

b) 

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -21 i -3:

Liczby -21 i -3 są położone w odległości 9 od liczby -12 na osi liczbowej, zatem:

c) 

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -74 i 16:

Liczby -74 i 16 są położone w odległości 45 od liczby -29 na osi liczbowej, zatem:

d) 

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb  i :

Liczby  i  są położone w odległości  od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

e) 

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb  i :

Liczby  i  są położone w odległości  od liczby 5 na osi liczbowej, zatem:

f) 

W tym przykładzie mamy tylko jedno rozwiązanie. Istnieje zatem tylko jedna liczba rzeczywista, której odległość od liczby -193 jest równa 0, jest to liczba -193.

Szczegóły

Odsłony: 9

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

a) 

b) 

Otrzymujemy:

c) 

Otrzymujemy:

d) 

Otrzymujemy:

e) 

Otrzymujemy:

f) 

Przekształcamy podane równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

Szczegóły

Odsłony: 6

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

a) 

Przekształcamy równanie:

Otrzymujemy:

b) 

Przekształcamy równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

c) 

Przekształcamy równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

d) 

Przekształcamy równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

e) 

Przekształcamy równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

f) 

Przekształcamy równanie:

zatem:

Otrzymujemy:

Szczegóły

Odsłony: 2

Rozwiąż graficznie równanie:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Rozwiązanie:

Wiemy, że .

a) 

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

Równanie sprzeczne.

b) 

Przekształcamy równanie:

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

c) 

Przekształcamy równanie:

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

d) 

Przekształcamy równanie:

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

e) 

Przekształcamy równanie:

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

f) 

Przekształcamy równanie:

Szkicujemy wykresy funkcji  i  w jednym układzie współrzędnych:

Szczegóły

Odsłony: 2

Podaj przykład równania z wartością bezwzględną:

a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi,

b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków,

c) które ma dwa rozwiązania ujemne,

d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna.

Rozwiązanie:

a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi

b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków

c) które ma dwa rozwiązania ujemne

d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna

Szczegóły

Odsłony: 2

Rozwiąż równanie:

a) 

b) 

c) 

d) 

Rozwiązanie:

Wiemy, że .

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

a) 

Przekształcamy równanie:

Otrzymujemy:

b) 

Przekształcamy równanie:

Otrzymujemy:

c) 

Przekształcamy równanie:

Równanie  jest sprzeczne, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

d) 

Przekształcamy równanie:

Otrzymujemy: