Przykład 1.

Rozwiąż równanie image001 wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.

Wyrażenie image002 oznacza odległość liczby x od liczby 4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 4 wynosi 3.

image003

Szukane liczby to 1 i 7, zatem:

image004

Przykład 2.

Napisz równanie z wartością bezwzględną typu image005, którego zbiorem rozwiązań jest zbiór:

a) image006

Liczby -7 i 7 są położone w odległości 7 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

image007

image008

b) image009

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -4 i 6:

image010

Liczby -4 i 6 są położone w odległości 5 od liczby 1 na osi liczbowej, zatem:

image011

Przykład 3.

Rozwiąż równanie:

a) image012

Równanie image012 ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ istnieje tylko jedna liczba rzeczywista, której odległość od liczby 6 jest równa 0, jest to liczba 6.

image013

b) image014

Równanie image014 jest sprzeczne, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

Twierdzenie 1.

Jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image015

Przykład 4.

Korzystając z twierdzenia 1 rozwiąż równanie image016.

image016

Rozpatrujemy dwa przypadki: image017

Pierwszy przypadek:

image018

image019

image020

Drugi przypadek:

image021

image022

image023

Otrzymujemy:

image024

Przykład 5.

Rozwiąż graficznie równanie image001.

Szkicujemy wykresy funkcji image025 i image026 w jednym układzie współrzędnych:

image027

image028

image029

Otrzymujemy:

image004

Rozwiąż równanie image001 na trzy sposoby:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej,

b) korzystając z twierdzenia 1,

c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej

Przekształcamy wyrażenie image002 do postaci image003:

image004

Wyrażenie image002 oznacza odległość liczby x od liczby -2. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -2 wynosi 3.

image005

Szukane liczby to -5 i 1, zatem:

image006

b) korzystając z twierdzenia 1

Rozpatrujemy dwa przypadki: image007

Pierwszy przypadek:

image008

image009

Drugi przypadek:

image010

image011

Otrzymujemy:

image006

c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych

Szkicujemy wykresy funkcji image012 i image013 w jednym układzie współrzędnych:

image014

image015

image016

Otrzymujemy:

image006

Rozwiąż dane równanie, wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

a) image001

Przekształcamy wyrażenie image007 do postaci image008:

image009

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 0. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 0 wynosi 1.

image010

b) image002

Przekształcamy wyrażenie image011 do postaci image008:

image012

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby -4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -4 wynosi 9.

image013

c) image003

Przekształcamy wyrażenie image014 do postaci image008:

image015

Wyrażenie  oznacza odległość liczby x od liczby 8. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 8 wynosi 5.

image016

d) image004

Wiemy, że image017, zatem:

image018

Wyrażenie image019 oznacza odległość liczby x od liczby 5. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 5 wynosi 2.

image020

e) image005

Wiemy, że image017, zatem:

image021

Wyrażenie image022 oznacza odległość liczby x od liczby -1. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby -1 wynosi 4.

image023

f) image006

Wiemy, że image017, zatem:

image024

image025

image026

image027

image028

image029

image030

Wyrażenie image031 oznacza odległość liczby x od liczby 4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 4 wynosi 6.

image032

Napisz równanie z niewiadomą x, typu image001, jeśli dany jest jego zbiór rozwiązań:

a) image002

b) image003

c) image004

d) image005

e) image006

f) image007.

Rozwiązanie:

Wiemy, że środkiem odcinka wyznaczonego przez dwa punkty a i b na osi liczbowej jest punkt, którego współrzędna jest średnią arytmetyczną liczb a i b, czyli

image008

a) image002

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb 3 i 11:

image009

Liczby 3 i 11 są położone w odległości 4 od liczby 7 na osi liczbowej, zatem:

image010

b) image003

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -21 i -3:

image011

Liczby -21 i -3 są położone w odległości 9 od liczby -12 na osi liczbowej, zatem:

image012

image013

c) image004

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -74 i 16:

image014

Liczby -74 i 16 są położone w odległości 45 od liczby -29 na osi liczbowej, zatem:

image015

image016

d) image005

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb image017 i image018:

image019

Liczby image017 i image018 są położone w odległości image018 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

image020

image021

e) image006

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb image022 i image023:

image024

Liczby image022 i image023 są położone w odległości image025 od liczby 5 na osi liczbowej, zatem:

image026

f) image007

W tym przykładzie mamy tylko jedno rozwiązanie. Istnieje zatem tylko jedna liczba rzeczywista, której odległość od liczby -193 jest równa 0, jest to liczba -193.

image027

image028

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image007

a) image001

image008

b) image002

image009

image010

image011

image012

image013

Otrzymujemy:

image014

c) image003

image015

image016

image017

image018

image019

image020

image021

Otrzymujemy:

image022

d) image004

image023

image024

image025

image026

image027

Otrzymujemy:

image028

e) image005

image029

image030

image031

image032

image033

image034

image035

Otrzymujemy:

image036

f) image006

Przekształcamy podane równanie:

image037

image038

image039

zatem:

image040

image041

image042

image043

image044

Otrzymujemy:

image045

Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image007

a) image001

Przekształcamy równanie:

image008

image009

Otrzymujemy:

image010

b) image002

Przekształcamy równanie:

image011

image012

zatem:

image013

image014

image015

image016

image017

Otrzymujemy:

image018

c) image003

Przekształcamy równanie:

image019

image020

zatem:

image021

image022

image023

image024

image025

Otrzymujemy:

image026

d) image004

Przekształcamy równanie:

image027

image028

zatem:

image029

image030

image031

image032

image033

image034

image035

Otrzymujemy:

image036

e) image005

Przekształcamy równanie:

image037

image038

image039

zatem:

image040

image041

image042

image043

image044

image045

image046

image047

Otrzymujemy:

image048

f) image006

Przekształcamy równanie:

image006

image049

zatem:

image050

image051

image052

image053

image054

image055

image056

Otrzymujemy:

image057

Rozwiąż graficznie równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiązanie:

Wiemy, że image007.

a) image001

image001

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image010

image011

image012

Równanie sprzeczne.

b) image002

Przekształcamy równanie:

image002

image013

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image014

image015

image016

image017

c) image003

Przekształcamy równanie:

image003

image018

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image019

image020

image021

image022

d) image004

Przekształcamy równanie:

image004

image023

image024

image025

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image026

image027

image028

image029

e) image005

Przekształcamy równanie:

image005

image030

image031

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image032

image033

image034

image035

f) image006

Przekształcamy równanie:

image006

image036

image037

image038

Szkicujemy wykresy funkcji image008 i image009 w jednym układzie współrzędnych:

image039

image033

image040

image041

Podaj przykład równania z wartością bezwzględną:

a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi,

b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków,

c) które ma dwa rozwiązania ujemne,

d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna.

Rozwiązanie:

a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi

image001

image002

b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków

image003

image004

c) które ma dwa rozwiązania ujemne

image005

image006

d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna

image007

image008

Rozwiąż równanie:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiązanie:

Wiemy, że image005.

Wiemy, że jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image006

a) image001

Przekształcamy równanie:

image001

image007

image008

image009

image010

image011

Otrzymujemy:

image012

image013

image014

image015

image016

b) image002

Przekształcamy równanie:

image017

image018

image019

image020

image021

image022

image023

Otrzymujemy:

image024

image025

image026

image027

image028

c) image003

Przekształcamy równanie:

image003

image029

image030

image031

image032

image033

image034

Równanie image034 jest sprzeczne, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

d) image004

Przekształcamy równanie:

image004

image035

image036

image037

image039

image040

Otrzymujemy:

image041

image042

image043

image044

image045