Przykład 1.

Rozwiąż nierówność:

a) image001

Przekształcamy nierówność do postaci image002:

image003

Rozwiązać nierówność image003 to znaczy znaleźć na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby -1 jest mniejsza od 4.

image004

image005

b) image006

Nierówność jest w postaci image007.

Rozwiązać nierówność image006 to znaczy znaleźć na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby 2 jest większa lub równa od 3.

image008

image009

Przykład 2.

Napisz nierówność typu image010 lub image002, jeśli ich zbiorem rozwiązań jest zbiór:

a) image011

Liczby -3 i 3 są położone w odległości 3 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

image012

image013

b) image014

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -1 i 5:

image015

Liczby -1 i 5 są położone w odległości 3 od liczby 2 na osi liczbowej, zatem:

image016

Przykład 3.

Rozwiąż nierówność:

a) image017

Odległość jest liczbą nieujemną, więc wartość wyrażenia image018 nie może być mniejsza od -2.

Nierówność image017 jest sprzeczna, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty.

b) image019

Wartość wyrażenia image020 jest zawsze liczbą nieujemną, czyli image021.

Nierówność image019 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych R.

c) image022

Przekształcamy nierówność do postaci image023:

image024

Szukamy na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby -5 jest mniejsza lub równa od 0.

Jest tylko jedna taka liczba, której odległość od liczby -5 wynosi 0 czyli liczba -5.

d) image025

Wartość wyrażenia image026 jest zawsze liczbą nieujemną, czyli image027.

Nierówność image025 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x różnej od liczby 3, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb image028.

Twierdzenie 1.

Jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, w - dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image029

image030

image031

image032

Przykład 4.

Rozwiąż nierówność, stosując twierdzenie 1.

a) image033

image034

image035

image036

image037

image038

image039

image040

b) image041

image042

image043

image044

image045

image046

image047

image048

Przykład 5.

Rozwiąż graficznie nierówność image049.

Szkicujemy wykresy funkcji image050 i image051 w jednym układzie współrzędnych:

image052

image053

image054

image055

Rozwiąż nierówność image001 na trzy sposoby:

a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej,

b) stosując twierdzenie 1,

c) szkicując w układzie współrzędnych wykresy odpowiednich funkcji.

Na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej na osi liczbowej rozwiąż nierówność:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Podaj zbiór rozwiązań nierówności:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Zapisz nierówność z wartością bezwzględną, znając jej zbiór rozwiązań:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

g) image007

h) image008

i) image009

Rozwiąż daną nierówność, stosując twierdzenie 1:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż nierówność, korzystając z wykresów odpowiednich funkcji:

a) image001

b) image002

c) image003

Rozwiąż nierówność:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

e) image005

f) image006

Rozwiąż nierówność:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiąż nierówność:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Rozwiąż nierówność:

a) image001

b) image002

c) image003

d) image004

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze, które spełniają jednocześnie podane warunki:

a) image001 image002

b) image003 image004

Rozwiąż nierówność podwójną:

a) image001

b) image002

c) image003

Dane są zbiory:

A – zbiór liczb parzystych spełniających nierówność image001

B – zbiór liczb pierwszych spełniających nierówność image002

C – zbiór liczb nieujemnych spełniających nierówność image003

Wyznacz zbiory:

a) image004

b) image005

c) image006

d) image007

e) image008