Przykład 1.

Rozwiąż nierówność:

a) image001

Przekształcamy nierówność do postaci image002:

image003

Rozwiązać nierówność image003 to znaczy znaleźć na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby -1 jest mniejsza od 4.

image004

image005

b) image006

Nierówność jest w postaci image007.

Rozwiązać nierówność image006 to znaczy znaleźć na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby 2 jest większa lub równa od 3.

image008

image009

Przykład 2.

Napisz nierówność typu image010 lub image002, jeśli ich zbiorem rozwiązań jest zbiór:

a) image011

Liczby -3 i 3 są położone w odległości 3 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:

image012

image013

b) image014

Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -1 i 5:

image015

Liczby -1 i 5 są położone w odległości 3 od liczby 2 na osi liczbowej, zatem:

image016

Przykład 3.

Rozwiąż nierówność:

a) image017

Odległość jest liczbą nieujemną, więc wartość wyrażenia image018 nie może być mniejsza od -2.

Nierówność image017 jest sprzeczna, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty.

b) image019

Wartość wyrażenia image020 jest zawsze liczbą nieujemną, czyli image021.

Nierówność image019 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych R.

c) image022

Przekształcamy nierówność do postaci image023:

image024

Szukamy na osi liczbowej wszystkie takie liczby x, których odległość od liczby -5 jest mniejsza lub równa od 0.

Jest tylko jedna taka liczba, której odległość od liczby -5 wynosi 0 czyli liczba -5.

d) image025

Wartość wyrażenia image026 jest zawsze liczbą nieujemną, czyli image027.

Nierówność image025 jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x różnej od liczby 3, jej zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb image028.

Twierdzenie 1.

Jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, w - dowolnym wyrażeniem, wówczas:

image029

image030

image031

image032

Przykład 4.

Rozwiąż nierówność, stosując twierdzenie 1.

a) image033

image034

image035

image036

image037

image038

image039

image040

b) image041

image042

image043

image044

image045

image046

image047

image048

Przykład 5.

Rozwiąż graficznie nierówność image049.

Szkicujemy wykresy funkcji image050 i image051 w jednym układzie współrzędnych:

image052

image053

image054

image055