Napisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego interpretację graficzną przedstawia poniższy rysunek. Podaj jego rozwiązanie (o ile istnieje).

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Rozwiązanie:

a) image001

Widzimy, że jedna z prostych jest równoległa do osi OY i przechodzi przez punkt image007, zatem jest to prosta opisana równaniem

image007

Druga prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych image008.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image011, zatem jej wyraz wolny image012.

image009

image010

image013

Korzystając ze współrzędnych punktu image014 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image013

image015

image016

image017

Otrzymujemy równanie prostej

image018

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image019

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych image014. Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image014.

b) image002

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image020.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image021, zatem jej wyraz wolny image022.

image009

image010

image022

image023

Korzystając ze współrzędnych punktu image024 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image023

image025

image026

image027

image028

Otrzymujemy równanie prostej

image029

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image030.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image021, zatem jej wyraz wolny image022.

image009

image010

image022

image023

Korzystając ze współrzędnych punktu image021 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image023

image032

image033

image034

Otrzymujemy równanie prostej

image035

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image036

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych image021. Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image021.

c) image003

Widzimy, że jedna z prostych jest równoległa do osi OX i przechodzi przez punkt image037, zatem jest to prosta opisana równaniem

image037

Druga prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych .image038

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image039, zatem jej wyraz wolny image040.

image009

image010

image040

image041

Korzystając ze współrzędnych punktu image042 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image041

image043

image044

image045

Otrzymujemy równanie prostej

image046

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image047

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych image042. Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb image042.

d) image004

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image048.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image049, zatem jej wyraz wolny image050.

image009

image010

image050

image051

Korzystając ze współrzędnych punktu image052 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image051

image053

image054

image055

image056

Otrzymujemy równanie prostej

image057

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image058.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image059, zatem jej wyraz wolny image060.

image009

image010

image060

image061

Korzystając ze współrzędnych punktu image062 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image061

image063

image064

image065

image056

Otrzymujemy równanie prostej

image066

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image067

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i nie mają żadnych punktów wspólnych. Układ jest sprzeczny, brak rozwiązań.

e) image005

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image068.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image069, zatem jej wyraz wolny image070.

image009

image010

image070

image071

Korzystając ze współrzędnych punktu image062 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image071

image072

image073

image074

Otrzymujemy równanie prostej

image075

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych image076.

Przedstawimy ją w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image039, zatem jej wyraz wolny image040.

image009

image010

image040

image041

Korzystając ze współrzędnych punktu image052 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image041

image077

image078

image074

Otrzymujemy równanie prostej

image079

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image080

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i nie mają żadnych punktów wspólnych. Układ jest sprzeczny, brak rozwiązań.

f) image006

Obydwie proste przechodzą przez punkty o współrzędnych image081.

Przedstawimy je w postaci image009.

Wiemy, że prosta opisana równaniem image009 przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image010. Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych image049, zatem jej wyraz wolny image050.

image009

image010

image050

image051

Korzystając ze współrzędnych punktu image024 wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

image051

image082

image083

image034

Otrzymujemy równanie prostej

image084

Aby drugie równanie nie było identyczne przemnożymy obie strony równania np. przez image085:

image086

image087

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

image088

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się). Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.