Definicja 1

Funkcją liniową nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą wzoru image001, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, zaś b wyrazem wolnym.

Twierdzenie 1

Wykresem funkcji liniowej image001 jest prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych image002 oraz image003, gdzie image004:

image002 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY

image003 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX (miejsce zerowe funkcji liniowej)

image005

Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty należące do wykresu funkcji i poprowadzić przez nie prostą.

Przykład 1

Naszkicuj wykres podanych funkcji:

a) image006  b) image011  c) image016  d) image026 

a) image006

image001

image007

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

image002 oraz image003

image008

Otrzymujemy

image009

image010

b) image011

image001

image012

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

image002 oraz image003

image013

Otrzymujemy

image014

image015

 

c) image016

image001

image017

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

image002 oraz image003

image018

Otrzymujemy

image019

Widzimy, że w tym przypadku punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych leżą w tym samym punkcie. Aby wyznaczyć współrzędne drugiego punktu należącego do wykresu funkcji skorzystamy z jej wzoru

image016

Podstawiamy do wzoru w miejsce zmiennej x dowolną liczbę np.: image020, wyznaczając w ten sposób drugą współrzędną punktu należącego do wykresu funkcji

image021

image022

image023

Otrzymujemy

image024

image025

d) image026

image001

image027

W tym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy zero, zatem funkcja nie ma punktów wspólnych z osią OX. Wykresem takiej funkcji jest prosta, równoległa do osi OX, przechodząca przez punkt image026.

image028

Twierdzenie 2

Funkcja liniowa image001 ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy image004 i jest ono równe image029.

Funkcja liniowa image001 nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy image030 i image031.

Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji liniowej image001 wtedy i tylko wtedy, gdy image030 i image032.

Przykład 2

Funkcja liniowa image033 ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja liniowa image034. Oblicz b.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji image034

image035

image036

image037

Wiedząc, że funkcja image033 ma to same miejsce zerowe co funkcja image034 wyznaczamy b:

image040

image041

image042

image043

Przykład 3

Dana jest funkcja liniowa opisana wzorem image044. Sprawdź, ile miejsc zerowych ma funkcja f, jeśli:

a) image045  b) image046  c) image047 

a) Dla image045 mamy:

image044

image048

image049

image050

image051

Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe image052.

b) Dla image046 mamy:

image044

image053

image054

image055

image056

image057

Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.

c) Dla image047 mamy:

image044

image058

image059

image060

image061

image062

Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Wśród poniższych funkcji określonych wzorami znajdują się funkcje liniowe. Wskaż je.

a) image001  b) image002  c) image003  d) image004 

Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b.

a) image001  b) image002  c) image003  d) image004 

Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt A. Wyznacz wzór tej funkcji i naszkicuj jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.

a) image001  b) image002  c) image003  d) image004 

Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej image001. Wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty image002 oraz image003, napisz wzór tej funkcji.

a) image004  b) image005  c) image006 

Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty:

a) image001  b) image002 
c) image003  d) image004 

Dany jest wzór funkcji liniowej. Oblicz współrzędne punktów, jeżeli istnieją, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych. Następnie naszkicuj wykres tej funkcji i omów jej własności, jeśli:

a) image001  b) image002  c) image003  d) image004 
e) image005  f) image006  g) image007  h) image008 

Wyznacz miejsce zerowe funkcji liniowej f, jeśli:

a) image001  b) image002  c) image003 
d) image004  e) image005  f) image006 

Wyznacz brakujący współczynnik we wzorze funkcji liniowej wiedząc, że liczba podana obok wzoru funkcji jest miejscem zerowym tej funkcji.

a) image001  b) image002 
c) image003  d) image004 

Naszkicuj wykres funkcji f. Następnie odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji f, jeśli:

a) image001  b) image002 
c) image003  d) image004 

Dana jest funkcja liniowa image001. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią OY, jeśli:

a) image002  b) image003  c) image004  d) image005 

Dana jest funkcja liniowa image001. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji h z osią OX, jeśli:

a) image002  b) image003  c) image004  d) image005 

Funkcję liniową f opisuje wzór: image001. Wyznacz liczbę m, dla której:

a) funkcja f jest proporcjonalnością prostą;

b) wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie image002;

c) do wykresu tej funkcji należy punkt image003;

d) miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.

Dla wyznaczonej wartości m podaj wzór funkcji f i sprawdź poprawność obliczeń.

Funkcja liniowa image001 oraz image002 mają wspólne miejsce zerowe. Oblicz a. następnie podaj współrzędne punktu przecięcia funkcji g z osią OY.