Szczegóły
Odsłony: 64963

Definicja 1

Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

image001

Twierdzenie 1

W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.

Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta lub jego przedłużenia, na który została opuszczona wysokość nazywamy spodkiem wysokości trójkąta.

Wysokości w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image002

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami na podstawę dzieli ją na dwie równe części.

- trójkąt równoboczny:

image003

W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyrażona jest wzorem:

image004

- trójkąt prostokątny:

image005

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość image006 i image007, dla których wyrażona jest wzorem:

image008

Przykład 1

Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 5 cm i 12 cm.

image009

Wiemy, że:

image010

Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru: image008

image011

image012

image013

image014

Obliczamy pole trójkąta:

image010

image015

image016

Definicja 2

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

image017

Twierdzenie 2

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Środkowe w wybranych trójkątach:

- trójkąt równoramienny:

image018

W trójkącie równoramiennym środkowa pokrywa się z wysokością poprowadzoną z wierzchołka między ramionami.

- trójkąt równoboczny:

image019

W trójkącie równobocznym wszystkie środkowe pokrywają się z wysokościami. Wynika stąd, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.

- trójkąt prostokątny:

image020

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy przeciwprostokątnej.

Przykład 2

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm, a środkowa CE ma długość 16 cm. Oblicz długość środkowej AD.

image021

Wiemy, że:

image022

image023

image024

image025

Obliczamy długość odcinka AO korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

image026

image027

image028

image029

image030

image031

image032

Obliczamy długość odcinka OD:

image024

image033

image034

image035

image036

Obliczamy długość środkowej AD:

image025

image037

image038

Szczegóły
Odsłony: 11938

Oblicz wysokość:

a) w trójkącie prostokątnym równoramiennym, poprowadzoną na przeciwprostokątną o długości 2;

b) w trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 14;

c) w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość 5, 5, 6 poprowadzoną na podstawę.

Szczegóły
Odsłony: 7431

Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku a wysokość jest równa image001.

Następnie oblicz długość boku trójkąta równobocznego w przypadku, gdy jest on o 3 cm dłuższy od wysokości. Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do 0,1 cm.

Szczegóły
Odsłony: 7245

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa image001. Następnie oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego w przypadku, gdy najkrótsza wysokość jest o 5 cm krótsza od przyprostokątnej. Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do 1 cm.

Szczegóły
Odsłony: 8051

Oblicz wysokość CD trójkąta ABC na rysunku poniżej:

a) image001

b) image002

c) image003

Szczegóły
Odsłony: 8269

Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości:

a) 4 cm; 9 cm

b) 3 cm; 1,2 dm

c) 0,9 dm; 1,6 dm

Szczegóły
Odsłony: 6192

W trójkącie równoramiennym o obwodzie L wysokość poprowadzona na podstawę ma długość h. Wyznacz długości boków tego trójkąta jeśli:

a) L = 50, h = 5

b) L = 8, h = 2

c) L = 48, h = 12

Szczegóły
Odsłony: 6759

W trójkącie równobocznym odległość środka ciężkości od boków jest równa 1 cm. Oblicz:

a) wysokość trójkąta

b) długość boku trójkąta.

Szczegóły
Odsłony: 9404

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 15 cm i 20 cm. Oblicz:

a) wysokość h trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego;

b) odległość spodka wysokości h od środka przeciwprostokątnej;

c) różnicę długości środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i wysokości h.

Szczegóły
Odsłony: 7285

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym mają długość image001. Oblicz:

a) długości środkowych w tym trójkącie;

b) odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta prostego.

Szczegóły
Odsłony: 14783

Oblicz długości środkowych w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość:

a) 18 cm, 15 cm, 15 cm

b) 16 cm, 10 cm, 10 cm

Szczegóły
Odsłony: 7155

Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego, jeśli środkowe w tym trójkącie mają długość:

a) 6 cm, 6 cm, 9 cm

b) 9 cm, 9 cm, 6 cm

Szczegóły
Odsłony: 2294

Wykaż, że jeśli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona to ten trójkąt jest prostokątny.

Szczegóły
Odsłony: 2230

Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt K jest środkiem boku AB. Odcinek DK przecina się z przekątną AC w punkcie P. Wykaż, że image001.

  • Jesteś tutaj:  
  • Start
  • Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie