- Szczegóły
- Odsłony: 5653
Definicja 1
Liczba naturalna jest podzielna przez liczbę naturalną
, gdzie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna
, dla której
.
Liczbę nazywamy dzielnikiem liczby
, natomiast o liczbie
mówimy, że jest wielokrotnością liczby
.
Przykład 1
Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to .
zatem
Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn liczby i liczby
, a więc dla dowolnej liczby naturalnej
suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez
.
Definicja 2
Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od
, której jedynymi dzielnikami są
i
.
Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od
, która nie jest liczbą pierwszą.
Liczby oraz
nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.
Przykład 2
a) Podaj sześć liczb pierwszych zaczynając od najmniejszej:
b) Podaj sześć kolejnych liczb złożonych zaczynając od :
Przykład 3
Wypisz wszystkie dzielniki liczby :
Cechy podzielności liczb naturalnych
liczba naturalna |
cecha podzielności przez liczbę |
2 |
ostatnią cyfrą liczby jest |
3 |
suma cyfr liczby jest podzielna przez |
4 |
dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez |
5 |
ostatnią cyfrą liczby jest |
6 |
liczba jest podzielna przez |
8 |
trzy ostatnie cyfry to |
9 |
suma cyfr liczby jest podzielna przez |
10 |
ostatnią cyfrą liczby jest |
25 |
dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę |
Przykład 4
Liczba :
- jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest
- jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi
i jest podzielna przez
- nie jest podzielna przez , ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę
, a ta nie jest podzielna przez
- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest
- jest podzielna przez , ponieważ jest podzielna przez
i przez
- nie jest podzielna przez , ponieważ jej trzy ostatnie cyfry nie są zerami i liczba utworzona z trzech ostatnich liczb, czyli
, nie jest podzielna przez
- nie jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi
i nie jest podzielna przez
- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8
- nie jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie liczby nie tworzą liczby , ani nie są zerami.
Definicja 3
Największym wspólnym dzielnikiem () liczb
i
nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb
i
i zapisujemy
.
Najmniejszą wspólną wielokrotnością () liczb
i
nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, różną od zera, która jest podzielna przez każdą z liczb
i
i zapisujemy
.
Przykład 5
Znajdziemy i
Największy wspólny dzielnik
Wyznaczamy rozkład liczb i
na czynniki pierwsze (wykonujemy dzielenie liczby przez najmniejsze możliwe większe od
naturalne dzielniki tych liczb)
Wykonujemy dzielenie liczby
Zatem liczbę możemy zapisać jako:
Wykonujemy dzielenie liczby
Zatem liczbę możemy zapisać jako:
Zauważamy, że w rozkładach na czynniki pierwsze liczb i
powtarza się
, zatem
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Już wiemy, że oraz
. Wyznaczając
bierzemy po uwagę wszystkie czynniki, które nie powtarzają się w obydwu rozkładach, zatem
z liczby
i
z liczby
.
Twierdzenie 1
Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich i
, prawdziwa jest równość
Twierdzenie 2
Dla dowolnych liczb naturalnych i
, gdzie
istnieje tylko jedna para liczb naturalnych
i
, dla których
, gdzie
.
Reszta z dzielenia liczb całkowitych jest równa lub jest liczbą całkowitą dodatnią.
Przykład 6
Jakie reszty możemy otrzymać w wyniku dzielenia liczb naturalnych przez ?
Reszta z dzielenia jest liczbą naturalną, która jest mniejsza od dzielnika, zatem w wyniku dzielenia liczby naturalnej przez , możemy otrzymać następujące reszty:
Przykład 7
ponieważ
ponieważ
ponieważ
ponieważ
Definicja 5
Liczbę całkowitą nazywamy liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez .
Dla dowolnej liczby naturalnej liczba parzysta
ma postać:
Liczbę całkowitą nazywamy liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie podzielna przez .
Dla dowolnej liczby naturalnej liczba nieparzysta
ma postać:
Przykład 8
Obliczmy resztę z dzielenia przez liczby
, gdzie
.
Reszta z dzielenia może być lub liczbą naturalną dodatnią, zatem przed jej wyznaczeniem przekształcimy nasze wyrażenie
Wyrażenie jest liczbą całkowitą, ponieważ
, zatem wyrażenie
jest liczbą całkowitą podzielną przez
.
Wniosek:
Wyrażenie to liczba całkowita, która przy dzieleniu przez
daje resztę
.
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych - definicje, przykłady
- Szczegóły
- Odsłony: 2083
Liczby i
rozłóż na czynniki pierwsze. Następnie wyznacz
oraz
.
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
d) ![]() |
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 1
- Szczegóły
- Odsłony: 5570
Na podstawie odpowiednich cech podzielności liczb naturalnych podaj, które z podanych liczb są dzielnikami liczby:
a) 40008 b) 556812 c) 209370 d) 45000
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 2
- Szczegóły
- Odsłony: 5258
Litera X oznacza w liczbie 8015X cyfrę jedności. Podaj, które cyfry można wpisać w miejsce X, aby liczba ta była podzielna:
a) przez 9 b) przez 5 c) przez 4
d) przez 3 i nie była podzielna przez 2 e) przez 8
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 3
- Szczegóły
- Odsłony: 2959
Liczba jest podzielna przez
, zaś
. Oceń, czy podane poniżej liczby są również podzielne przez
:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
d) ![]() |
e) ![]() |
f) ![]() |
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 4
- Szczegóły
- Odsłony: 2558
Liczby i
są liczbami pierwszymi większymi od
. Jaką liczbą pierwszą czy złożoną jest liczba
oraz liczba
?
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 5
- Szczegóły
- Odsłony: 3380
Wypisz wszystkie liczby całkowite nie mniejsze od i jednocześnie nie większe niż
. Ile jest wśród nich liczb:
a) naturalnych | b) pierwszych | c) złożonych |
d) parzystych | e) nieparzystych | f) podzielnych przez ![]() |
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 6
- Szczegóły
- Odsłony: 8723
Wypisz elementy zbioru:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
d) ![]() |
e) ![]() |
f) ![]() |
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 7
- Szczegóły
- Odsłony: 9620
Zapisz:
a) trzy kolejne liczby naturalne, z których największą jest liczba ;
b) trzy kolejne liczby parzyste, z których najmniejszą jest ;
c) trzy kolejne liczby nieparzyste, z których największą jest ;
d) w postaci ogólnej liczbę naturalną, która w wyniku dzielenia przez daje resztę
;
e) w postaci ogólnej liczbę całkowitą, która w wyniku dzielenia przez daje resztę
;
f) w postaci ogólnej dwie kolejne liczby naturalne, które w wyniku dzielenia przez dają resztę
.
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 8
- Szczegóły
- Odsłony: 9090
Liczba jest całkowita. Podaj resztę z dzielenia liczby
przez liczbę
, jeśli:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
d) ![]() |
e) ![]() |
f) ![]() |
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 9
- Szczegóły
- Odsłony: 6080
Ile jest równa reszta z dzielenia przez sumy trzech kolejnych liczb całkowitych:
a) nieparzystych b) parzystych c) niepodzielnych przez ?
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 10
- Szczegóły
- Odsłony: 5427
Czy suma czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez ? Odpowiedź uzasadnij.
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 11
- Szczegóły
- Odsłony: 4617
Czy suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez ? Odpowiedź uzasadnij.
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 12
- Szczegóły
- Odsłony: 8367
Liczba naturalna w wyniku dzielenia przez
daje resztę
, zaś liczba naturalna
w wyniku podzielenia przez
daje resztę
. Jaką resztę otrzymamy w wyniku podzielenia przez
liczby:
a) b)
c)
d)
e)
f)
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 13
- Szczegóły
- Odsłony: 3002
Dane są dwie kolejne liczby całkowite i
, gdzie
. Liczba
w wyniku podzielenia przez
daje resztę
. Wyznacz resztę z podzielenia liczby
:
a) przez b) przez
c) przez
d) przez
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 14
- Szczegóły
- Odsłony: 3826
Wyznacz wszystkie naturalne liczby n, dla których:
a) liczba jest naturalna b) liczba
jest całkowita
Obejrzyj rozwiązanie: Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych. Zadanie 15