Dany jest wzór funkcji liniowej. Oblicz współrzędne punktów, jeżeli istnieją, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych. Następnie naszkicuj wykres tej funkcji i omów jej własności, jeśli:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

g) 

h) 

      

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia mówiącego o tym, że wykresem funkcji liniowej  jest prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych  oraz , gdzie :

 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY

 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX (miejsce zerowe funkcji liniowej)

a) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja rosnąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

b) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja malejąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

c) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

brak

otrzymujemy prostą równoległą do osi OX przechodzącą przez punkt

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

Brak.

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja stała dla .

- różnowartościowość:

Funkcja nie jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Funkcja w całej dziedzinie przyjmuje wartość -3.

d) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

Widzimy, że w tym przypadku punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych leżą w tym samym punkcie. Aby wyznaczyć współrzędne drugiego punktu należącego do wykresu funkcji skorzystamy z jej wzoru.

Podstawiamy do wzoru w miejsce zmiennej x dowolną liczbę np.: , wyznaczając w ten sposób drugą współrzędną punktu należącego do wykresu funkcji, otrzymujemy

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja rosnąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

e) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja rosnąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

f) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja rosnąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

g) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja rosnąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.

h) 

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX:

otrzymaliśmy dwa punkty o współrzędnych:

Odczytujemy własności funkcji:

- dziedzina:

- zbiór wartości:

- miejsce zerowe:

- wartości dodatnie, ujemne:

- monotoniczność:

Funkcja malejąca dla .

- różnowartościowość:

Funkcja jest różnowartościowa.

- wartość największa, najmniejsza:

Brak.