Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

Szczegóły: Odsłon: 1291

Wyznacz trzy kolejne liczby nieparzyste, jeśli wiadomo, że różnica kwadratów największej i najmniejszej z nich jest o 345 mniejsza od kwadratu środkowej liczby.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

2x+1 – pierwsza liczba nieparzysta (najmniejsza)

2x+3 – druga liczba nieparzysta (środkowa)

2x+5 – trzecia liczba nieparzysta (największa)

Wiemy, że różnica kwadratów największej i najmniejszej z nich jest o 345 mniejsza od kwadratu środkowej, zatem:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania zadania:

2x+1 – pierwsza liczba nieparzysta (najmniejsza)

2x+3 – druga liczba nieparzysta (środkowa)

2x+5 – trzecia liczba nieparzysta (największa)

Pierwsza liczba to -17, druga liczba to -15, trzecia liczba to -13 lub pierwsza liczba to 21, druga liczba to 23, trzecia liczba to 25.

Szczegóły: Odsłon: 1434

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 8. Jeśli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową o tych samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy 1855. Wyznacz tę liczbę.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – cyfra dziesiątek liczby

y – cyfra jedności liczby

Liczba dwucyfrowa ma zatem postać:

Wiemy, że suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 8, zatem:

Z równania wyznaczamy jedną ze zmiennych, my wyznaczymy zmienną y:

Wiemy, że jeśli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową o tych samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy 1855, zatem:

Podstawiamy zmienną y do równania:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania zadania:

Szykana liczba to liczba 35 lub liczba 53.

Szczegóły: Odsłon: 1321

Wyznacz liczbę trzycyfrową, w której cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry setek, cyfra dziesiątek jest o 3 mniejsza od cyfry jedności, zaś suma kwadratów wszystkich cyfr tej liczby jest równa 38.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – cyfra jedności liczby

y – cyfra dziesiątek liczby

z – cyfra setek liczby

Wiemy, że cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry setek, zatem:

Wiemy, że cyfra dziesiątek jest o 3 mniejsza od cyfry jedności, zatem:

Wiemy, że suma kwadratów wszystkich cyfr tej liczby jest równa 38, zatem:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Odrzucamy rozwiązanie ponieważ cyfry w liczbie muszą być całkowite oraz przyjmować wartości dodatnie.

Przyjmujemy rozwiązanie .

Otrzymujemy:

Szukana liczba to 325.

Szczegóły: Odsłon: 1605

Wyznacz wszystkie liczby całkowite mające tę własność, że różnica kwadratu tej liczby i liczby o 3 od niej większej jest mniejsza od 27.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – pierwsza liczba całkowita

y – druga liczba całkowita

Wiemy, że druga liczba jest o 3 mniejsza od pierwszej, zatem:

Wiemy, że różnica kwadratu tej liczby i liczby o 3 od niej większej jest mniejsza od 27, zatem:

Przekształcamy nierówność:

Rozwiązujemy nierówność:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Zauważamy, że

zatem:

Wykonujemy rysunek:

Liczby całkowite należące do przedziału to:

Szczegóły: Odsłon: 1312

Wyznacz wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej 6, które spełniają warunek: iloczyn liczby i jej cyfry dziesiątek jest mniejszy od 120.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – cyfra dziesiątek liczby

y – cyfra jedności liczby

Liczba dwucyfrowa ma zatem postać:

Wiemy, że są to dwucyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej 6, zatem:

Z równania wyznaczamy jedną ze zmiennych, my wyznaczymy zmienną y:

Wiemy, że iloczyn liczby i jej cyfry dziesiątek jest mniejszy od 120, zatem:

Podstawiamy zmienną y do nierówności:

Przekształcamy nierówność do postaci :

Rozwiązujemy nierówność:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wykonujemy rysunek:

Liczby naturalne należące do przedziału to:

Szukane liczby spełniające warunki

to liczby: 15, 24, 33.

Szczegóły: Odsłon: 1003

Ile metrów płotu potrzeba na ogrodzenie prostokątnej działki o polu 1104 m², jeśli jeden bok tej działki jest o 22 m dłuższy od drugiego?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – pierwszy bok prostokąta

y – drugi bok prostokąta

d – długość płotu (obwód prostokąta)

Wiemy, że jeden bok tej działki jest o 22 m dłuższy od drugiego, zatem:

Wiemy, że pole prostokątnej działki wynosi 1104 m², zatem:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długość boku musi przyjmować wartości dodatnie.

Przyjmujemy rozwiązanie , wówczas:

Obliczamy długość płotu:

Szczegóły: Odsłon: 1199

Pani Helena chce na swojej działce wytyczyć rabatę kwiatową o stosunku boków 2:1. Projekt rabaty przedstawiony jest na rysunku obok. W częściach trójkątnych chce posadzić goździki, zaś na pozostałej części róże. Jakie wymiary powinna mieć ta rabata, aby powierzchnia przeznaczona na roże była równa 10 m²?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x – krótszy bok rabaty

y – dłuższy bok rabaty

Wiemy, że pani Helena chce na swojej działce wytyczyć rabatę kwiatową o stosunku boków 2:1, zatem:

Wiemy, że pani Helena w częściach trójkątnych chce posadzić goździki, zaś na pozostałej części róże. Zapiszemy równanie opisujące pole powierzchni figury przeznaczonej do posadzenia róż (pole trapezu).

Wiemy, że:

Zatem:

Wyznaczamy wymiary rabaty. Wiemy, że powierzchnia przeznaczona na roże ma być równa 10 m², zatem:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długość boku musi przyjmować wartości dodatnie.

Przyjmujemy rozwiązanie , wówczas:

Szczegóły: Odsłon: 969

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli wiadomo, że jego pole jest równe 30 cm².

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

a - pierwsza przyprostokątna

b - druga przyprostokątna

Wiemy, że w trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o 7 cm dłuższa od drugiej, zatem:

Wiemy, że

Zatem:

Wiemy, że pole trójkąta jest równe 30 cm², zatem:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długość boku musi przyjmować wartości dodatnie.

Przyjmujemy rozwiązanie , wówczas:

Obliczamy długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Obliczamy obwód trójkąta:

Szczegóły: Odsłon: 738

Powierzchnia latawca w kształcie rombu jest równa 0,24 m². Jedna przekątna tego latawca jest o 0,2 m dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego latawca.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

d₁ - krótsza przekątna rombu

d₂ - dłuższa przyprostokątna

Wiemy, że w rombie jedna przekątna tego latawca jest o 0,2 m dłuższa od drugiej, zatem:

Wiemy, że

Zatem:

Wiemy, że powierzchnia latawca w kształcie rombu jest równa 0,24 m², zatem:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi przyjmować wartości dodatnie.

Przyjmujemy rozwiązanie , wówczas:

Wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, dzielą się na połowy oraz dzielą romb na cztery takie same trójkąty prostokątne.

Obliczamy długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Obliczamy obwód rombu:

Szczegóły: Odsłon: 1067

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną podzieliła ją na dwa odcinki, z których jeden ma 25 cm, a drugi jest o 6 cm krótszy od tej wysokości. Oblicz długość wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną.

Rozwiązanie:

Wiemy, że w trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną podzieliła ją na dwa odcinki, z których jeden ma 25 cm, a drugi jest o 6 cm krótszy od tej wysokości, zatem:

Na rysunku zauważamy, że mamy trzy trójkąty prostokątne. Zapisujemy trzy równania korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Równanie pierwsze:

Równanie drugie:

Równanie trzecie:

Wstawiamy zmienne i do trzeciego równania:

Przekształcamy równanie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania:

lub

Szczegóły: Odsłon: 700

Telewizor plazmowy kosztował 8000 zł. Po dwukrotnej obniżce ceny, o ten sam procent, jego cena wynosiła 7220 zł. Oblicz, o ile procent obniżono cenę telewizora za każdym razem.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x% - procent każdorazowej obniżki

Wiemy, że telewizor plazmowy kosztował 8000 zł. Po dwukrotnej obniżce ceny, o ten sam procent, jego cena wynosiła 7220 zł, zatem:

cena po pierwszej obniżce:

cena po drugiej obniżce:

Otrzymujemy równanie:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ obniżka nie może być wyższa niż 100% ceny.

Przyjmujemy rozwiązanie .

Szczegóły: Odsłon: 703

Dwa lata temu pani Krystyna Kwiatkowska założyła dwuletnią lokatę o stałym oprocentowaniu, wpłacając do banku 15000 zł. Kapitalizacja odsetek następowała po każdym roku oszczędzania. Jakie było roczne oprocentowanie tej lokaty, jeżeli pani Krystyna po dwóch latach oszczędzania ma na tej lokacie, wraz z odsetkami 15606 zł?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

x% - roczne oprocentowanie na lokacie

Wiemy, że dwa lata temu pani Krystyna Kwiatkowska założyła dwuletnią lokatę o stałym oprocentowaniu, wpłacając do banku 15000 zł. Kapitalizacja odsetek następowała po każdym roku oszczędzania, zatem:

kwota na lokacie po pierwszym roku:

kwota na lokacie po drugim roku:

Wiemy, że po dwóch latach oszczędzania ma na tej lokacie, wraz z odsetkami 15606 zł, zatem:

Przekształcamy równanie do postaci :

Rozwiązujemy równanie:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Rozwiązanie odrzucamy, ponieważ oprocentowanie na lokacie nie może być ujemne.

Przyjmujemy rozwiązanie .

Szczegóły: Odsłon: 592

Odcinek AB podzielono na dwie części w ten sposób, że stosunek krótszej części tego odcinka do dłuższej jest równy stosunkowi dłuższej części do długości całego odcinka. Wykaż, że stosunek podziału jest równy .

Rozwiązanie:

Wiemy, że odcinek AB podzielono na dwie części w ten sposób, że stosunek krótszej części tego odcinka do dłuższej jest równy stosunkowi dłuższej części do długości całego odcinka, zatem: