- Szczegóły
- Odsłon: 1906
Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznacz dziedzinę nierówności:
a)
b)
c)
Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba oraz spełnia nierówność
dla mamy
Liczba nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa
dla mamy
Liczba spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa.
Definicja 1
Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność.
Definicja 2
Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność.
Przykład 3
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:
a)
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b)
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 3
Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie.
Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną.
Przykład 4
Rozwiąż nierówność:
a)
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b)
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
c)
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie jest liczbą ujemną, gdyż , zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 4
Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.
Przykład 5
Rozwiąż nierówność .
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową.
Definicja 5
Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności.
Przykład 6
Rozwiąż nierówność .
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność .
- Szczegóły
- Odsłon: 976
Sprawdź, czy liczby podane obok nierówności spełniają tę nierówność:
a)
b)
c)
d)
- Szczegóły
- Odsłon: 1093
Podaj przykłady trzech liczb, które spełniają daną nierówność:
a) b)
c) d)
- Szczegóły
- Odsłon: 987
Rozwiąż nierówności i przedstaw zbiór rozwiązań ma osi liczbowej:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
- Szczegóły
- Odsłon: 1213
Rozwiąż nierówność i przedstaw zbiór rozwiązań na osi liczbowej:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 926
Rozwiąż nierówność:
a)
b)
c)
d)
- Szczegóły
- Odsłon: 1044
Rozwiąż nierówność:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 1065
Rozwiąż nierówność podwójną:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
- Szczegóły
- Odsłon: 893
Rozwiąż nierówność:
a)
b)
c)
d)
- Szczegóły
- Odsłon: 887
Liczby 1, 3, a są długościami boków trójkąta. Wyznacz liczbę a wiedząc, że jest to liczba naturalna.
- Szczegóły
- Odsłon: 1293
Liczby 2x-2, x+1, 2x+2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy liczba x?
- Szczegóły
- Odsłon: 914
Iloczyn pewnej liczby pierwszej przez liczbę o 1 większą jest mniejszy od kwadratu tej liczby pierwszej powiększonego o 3. Jaka to liczba?
- Szczegóły
- Odsłon: 972
Iloraz pewnej liczby naturalnej x przez liczbę 3 pomniejszony o 2 jest nie większy od szóstej części różnicy liczb x i 10. Jaka to liczba? Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 869
Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest nie mniejszy od kwadratu liczby większej i nie większy od sumy liczby 6 i kwadratu liczby większej. Wyznacz te liczby nieparzyste. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 1280
Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 5, jeżeli suma tych liczb jest większa od 50 i jednocześnie mniejsza od 80.
- Szczegóły
- Odsłon: 929
Jeżeli jeden bok kwadratu długości x pozostawimy bez zmiany, a drugi wydłużymy o 5, to pole powstałego prostokąta będzie większe od pola kwadratu co najwyżej o 15 i co najmniej o 6. Wyznacz wszystkie możliwe wartości x będące liczbami naturalnymi.