Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 3839
Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznacz dziedzinę nierówności:
a) 
b) 
c) 
Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba 
oraz 
spełnia nierówność
dla 
mamy
Liczba nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa
dla 
mamy
Liczba spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa.
Definicja 1
Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność.
Definicja 2
Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność.
Przykład 3
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:
a) 
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność 
jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b) 
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 3
Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie.
Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną.
Przykład 4
Rozwiąż nierówność:
a) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
c) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie 
jest liczbą ujemną, gdyż 
, zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 4
Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.
Przykład 5
Rozwiąż nierówność 
.
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że wyrażenie 
jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową.
Definicja 5
Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności.
Przykład 6
Rozwiąż nierówność 
.
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność .
- Szczegóły
- Odsłon: 1812
Sprawdź, czy liczby podane obok nierówności spełniają tę nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1973
Podaj przykłady trzech liczb, które spełniają daną nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1911
Rozwiąż nierówności i przedstaw zbiór rozwiązań ma osi liczbowej:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2199
Rozwiąż nierówność i przedstaw zbiór rozwiązań na osi liczbowej:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1808
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1838
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1984
Rozwiąż nierówność podwójną:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1656
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1686
Liczby 1, 3, a są długościami boków trójkąta. Wyznacz liczbę a wiedząc, że jest to liczba naturalna.
- Szczegóły
- Odsłon: 2199
Liczby 2x-2, x+1, 2x+2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy liczba x?
- Szczegóły
- Odsłon: 1759
Iloczyn pewnej liczby pierwszej przez liczbę o 1 większą jest mniejszy od kwadratu tej liczby pierwszej powiększonego o 3. Jaka to liczba?
- Szczegóły
- Odsłon: 1787
Iloraz pewnej liczby naturalnej x przez liczbę 3 pomniejszony o 2 jest nie większy od szóstej części różnicy liczb x i 10. Jaka to liczba? Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 1744
Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest nie mniejszy od kwadratu liczby większej i nie większy od sumy liczby 6 i kwadratu liczby większej. Wyznacz te liczby nieparzyste. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 2239
Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 5, jeżeli suma tych liczb jest większa od 50 i jednocześnie mniejsza od 80.
- Szczegóły
- Odsłon: 1678
Jeżeli jeden bok kwadratu długości x pozostawimy bez zmiany, a drugi wydłużymy o 5, to pole powstałego prostokąta będzie większe od pola kwadratu co najwyżej o 15 i co najmniej o 6. Wyznacz wszystkie możliwe wartości x będące liczbami naturalnymi.