Aktualnie: 70810 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 2863
Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy.
Przykład 1
Wyznacz dziedzinę nierówności:
a) 
b) 
c) 
Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy liczba 
oraz 
spełnia nierówność
dla 
mamy
Liczba nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa
dla 
mamy
Liczba spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa.
Definicja 1
Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność.
Definicja 2
Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność.
Przykład 3
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:
a) 
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność 
jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b) 
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 3
Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie.
Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną.
Przykład 4
Rozwiąż nierówność:
a) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
b) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
c) 
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie 
jest liczbą ujemną, gdyż 
, zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny
Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału
Definicja 4
Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.
Przykład 5
Rozwiąż nierówność 
.
Wyznaczamy dziedzinę
Zauważamy, że wyrażenie 
jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową.
Definicja 5
Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności.
Przykład 6
Rozwiąż nierówność 
.
Wyznaczamy dziedzinę
Rozwiązujemy nierówność
Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność .
- Szczegóły
- Odsłon: 1352
Sprawdź, czy liczby podane obok nierówności spełniają tę nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1516
Podaj przykłady trzech liczb, które spełniają daną nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1397
Rozwiąż nierówności i przedstaw zbiór rozwiązań ma osi liczbowej:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1645
Rozwiąż nierówność i przedstaw zbiór rozwiązań na osi liczbowej:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1383
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1401
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1482
Rozwiąż nierówność podwójną:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1210
Rozwiąż nierówność:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1221
Liczby 1, 3, a są długościami boków trójkąta. Wyznacz liczbę a wiedząc, że jest to liczba naturalna.
- Szczegóły
- Odsłon: 1697
Liczby 2x-2, x+1, 2x+2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy liczba x?
- Szczegóły
- Odsłon: 1276
Iloczyn pewnej liczby pierwszej przez liczbę o 1 większą jest mniejszy od kwadratu tej liczby pierwszej powiększonego o 3. Jaka to liczba?
- Szczegóły
- Odsłon: 1312
Iloraz pewnej liczby naturalnej x przez liczbę 3 pomniejszony o 2 jest nie większy od szóstej części różnicy liczb x i 10. Jaka to liczba? Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 1306
Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest nie mniejszy od kwadratu liczby większej i nie większy od sumy liczby 6 i kwadratu liczby większej. Wyznacz te liczby nieparzyste. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
- Szczegóły
- Odsłon: 1745
Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 5, jeżeli suma tych liczb jest większa od 50 i jednocześnie mniejsza od 80.
- Szczegóły
- Odsłon: 1261
Jeżeli jeden bok kwadratu długości x pozostawimy bez zmiany, a drugi wydłużymy o 5, to pole powstałego prostokąta będzie większe od pola kwadratu co najwyżej o 15 i co najmniej o 6. Wyznacz wszystkie możliwe wartości x będące liczbami naturalnymi.