Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy.

Przykład 1

Wyznacz dziedzinę nierówności:

a) 

b) 

c) 

Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczba  oraz  spełnia nierówność

dla  mamy

Liczba  nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa

dla  mamy

Liczba  spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa.

Definicja 1

Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność.

Definicja 2

Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność.

Przykład 3

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności:

a) 

Wyznaczamy dziedzinę

Zauważamy, że nierówność  jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

b) 

Wyznaczamy dziedzinę

Zauważamy, że nierówność  jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

Definicja 3

Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie.

Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność:

a) 

Wyznaczamy dziedzinę

Rozwiązujemy nierówność

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

b) 

Wyznaczamy dziedzinę

Rozwiązujemy nierówność

Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

c) 

Wyznaczamy dziedzinę

Rozwiązujemy nierówność

Zauważamy, że wyrażenie  jest liczbą ujemną, gdyż , zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny

Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału

Definicja 4

Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności.

Przykład 5

Rozwiąż nierówność .

Wyznaczamy dziedzinę

Zauważamy, że wyrażenie  jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową.

Definicja 5

Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności.

Przykład 6

Rozwiąż nierówność .

Wyznaczamy dziedzinę

Rozwiązujemy nierówność

Zauważamy, że wyrażenie  jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność .