Witaj w matzadanie!

Szczegóły

Odsłon: 2087

      

Wykresem funkcji liniowej  jest pewna prosta na płaszczyźnie.

Współczynnik  nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik  wyrazem wolnym.

Definicja 1.

Równaniem kierunkowym prostej nazywamy równanie mające postać:

Równaniem kierunkowym można opisać tylko takie proste, które nie są prostopadłe do osi OX.

Każdej prostej odpowiada pewien kąt, zwany kątem nachylenia prostej do osi OX. Jedno ramię takiego kąta pokrywa się zawsze z dodatnią półosią OX, a drugie ramię leży w I lub II ćwiartce układu współrzędnych.

Kąt nachylenia  prostej opisanej równaniem  do osi OX jest:

- ostry, jeśli współczynnik kierunkowy  jest dodatni ()

- rozwarty, jeśli współczynnik kierunkowy  jest ujemny ()

- zerowy, jeśli współczynnik kierunkowy  jest równy 0 ()

Twierdzenie 1.

Prosta opisana równaniem  jest nachylona do osi OX pod takim kątem ,  i , że

Przykład 1.

Napisz równanie prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych i nachylonej do osi OX pod katem .

Rozwiązanie:

Wiemy, że szukaną prostą jest prosta opisana równaniem:

Korzystając z twierdzenia 1, wiemy, że:

Otrzymujemy:

zatem:

Przykład 2.

Wyznacz kąt nachylenia prostej o równaniu  do osi OX.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że współczynnik kierunkowy prostej jest równy , zatem:

, kąt nachylenia jest kątem rozwartym

Wiemy, że:

Korzystamy z wzorów redukcyjnych:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 2. (równoległość prostych opisanych równaniami kierunkowymi)

Proste o równaniach  oraz  są równolegle, wtedy i tylko wtedy, gdy:

Przykład 3.

Wyznacz wzór funkcji liniowej f, której wykres przecina oś OY w punkcie  i jest równoległy do prostej k opisanej równaniem .

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja liniowa ma postać:

Wiemy, że funkcja liniowa przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem:

Wiemy, że wykres funkcji f jest równoległy do prostej k, zatem:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 3. (prostopadłość prostych opisanych równaniami kierunkowymi)

Proste o równaniach oraz są prostopadłe, wtedy i tylko wtedy, gdy:

(współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych są do siebie przeciwne i odwrotne)

Przykład 4.

Wyznacz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej l opisanej równaniem  i przecina prostą l w punkcie A o odciętej -2.

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

zatem:

Wiemy, że proste k i l przecinają się w punkcie A o odciętej równej -2.

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu A:

Wyznaczamy wyraz wolny b prostej k:

Otrzymujemy:

Twierdzenie 4.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych  oraz , gdzie  ma postać:

, gdzie

Przykład 5.

Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty  oraz .

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

Otrzymujemy: