Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 2664
Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.
Przykład 1
Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:
a) 
Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: 
.
Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, wystarczy dowolne równanie pomnożyć przez 
.
Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi 
, w drugim 
.
Po uzyskaniu przeciwnych współczynników, równania układu dodajemy stronami:
Otrzymane równanie, czyli dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:
Po wyznaczeniu x wstawiamy otrzymane wyrażenie, czyli 
do pierwszego równania w miejsce niewiadomej x.
Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb 
.
b) 
Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .
Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej y, pierwsze równanie pomnożymy przez 
, drugie pomnożymy przez .
Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej y, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi 
, w drugim 
.
Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:
Otrzymane równanie, czyli dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:
Wyznaczamy niewiadomą y w drugim równaniu:
Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.
c) 
Porządkujemy układ równań:
Musimy doprowadzić równania do takiej postaci, aby współczynniki przy niewiadomej x lub y były liczbami przeciwnymi np.: .
Zauważamy, że najłatwiej przeciwne współczynniki można uzyskać przy niewiadomej x, wystarczy drugie równanie pomnożyć przez 
.
Uzyskaliśmy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, w pierwszym równaniu współczynnik ten wynosi , w drugim .
Po uzyskaniu przeciwnych współczynników równania układu dodajemy stronami:
Otrzymane równanie, czyli dołączamy do dowolnego równania układu i otrzymujemy układ równań równoważny danemu:
Otrzymaliśmy sprzeczność. Układ równań jest sprzeczny, brak rozwiązań.
- Szczegóły
- Odsłon: 4127
Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 1
- Szczegóły
- Odsłon: 7486
Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 2
- Szczegóły
- Odsłon: 3969
Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników układ równań:
a)  |
b)  |
c)  |
d)  |
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 3
- Szczegóły
- Odsłon: 2579
Wykresy dwóch funkcji liniowych 
oraz 
przecinają się w punkcie A.
a) Oblicz współrzędne punktu A.
b) Narysuj wykresy funkcji f i g we wspólnym układzie współrzędnych.
c) Dla jakich argumentów wartości funkcji f są nie mniejsze niż wartości funkcji g?
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 4
- Szczegóły
- Odsłon: 2346
Do wykresu funkcji liniowej 
należą dane punkty P i Q. Ułóż układ równań z niewiadomymi a i b, oblicz współczynniki a i b oraz napisz wzór funkcji liniowej:
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 5
- Szczegóły
- Odsłon: 2639
Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 
. Wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji liniowej g w punkcie o rzędnej 7. Wyznacz wzór funkcji f jeśli:
a) 
b) 
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 6
- Szczegóły
- Odsłon: 1953
Wykresy funkcji liniowych 
oraz 
przecinają się w punkcie C. Wiedząc, że wykres funkcji f przechodzi również przez punkty 
i 
, oblicz współrzędne punktu C.
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 7
- Szczegóły
- Odsłon: 1846
Wykresy trzech funkcji liniowych 
, 
oraz 
przecinają się w jednym punkcie. Wyznacz a.
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 8
- Szczegóły
- Odsłon: 1830
Wyznacz wartości m i n tak, aby wykresy funkcji 
oraz 
przecinały się w punkcie 
.
Czytaj więcej: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników. Zadanie 9
Egzamin ósmoklasisty
Egzamin ósmoklasisty z matematyki
- zadania egzaminacyjne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do egzaminu ósmoklasisty z matematyki.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny egzaminu ósmoklasisty. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają się w dniu egzaminu około godziny 14: cke.gov.pl
Matematyka - egzamin ósmoklasisty:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
Egzamin maturalny
Matura z matematyki - zadania maturalne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do matury z matematyki - poziom podstawowy.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny matury podstawowej. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają sę w dniu egzaminu około godziny 14: CKE
Arkusze maturalne - poziom podstawowy:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2018 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2017 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2016 | pobierz | zobacz | zobacz |
tablice matematyczne 2023 - pobierz
tablice matematyczne - pobierz
Najczęściej oglądane...
- Użytkowników 1
- Artykuły 1230
- Odsłon artykułów 4049419