Aktualnie: 3379 użytkowników
- Szczegóły
- Odsłon: 206
Twierdzenie 1. (bok i wysokość)
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład 1.
W trójkącie prostokątnym ABC kąt BAC jest prosty oraz 
, 
. Oblicz wysokość 
poprowadzoną z wierzchołka A.
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek:
Wyznaczamy długość boku 
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Wyznaczamy wysokość .
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
- jeśli podstawą trójkąta jest bok 
:
- jeśli podstawą trójkąta jest bok 
:
zatem:
Twierdzenie 2.
Stosunek pól dwóch trójkątów o takiej samej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw, do których ta wysokość została poprowadzona.
Przykład 2.
Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie O. Trzy spośród czterech wyznaczonych w ten sposób trójkątów mają pola odpowiednio równe 10, 12, 16, jak na rysunku poniżej. Oblicz pole czwartego trójkąta.
Rozwiązanie:
Zauważamy, że trójkąty ABO i BCO mają wspólną wysokość 
.
Wyznaczamy stosunek długości podstaw AO i OC.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Zauważamy, że trójkąty ADO i CDO mają wspólną wysokość 
.
Wyznaczamy pole trójkąta CDO.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Twierdzenie 3. (dwa boki trójkąta i kąt zawarty między tymi bokami)
Pole trójkąta o bokach długości 
, i kącie 
zawartym między tymi bokami wyraża się wzorem:
Przykład 3.
Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość 
i 
, a kąt zawarty między tymi bokami jest równy 
.
Rozwiązanie:
Obliczamy pole trójkąta.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Twierdzenie 4. (okrąg wpisany w trójkąt)
Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.
Przykład 4.
W trójkąt ABC o polu równym 
wpisano okrąg o promieniu 
. Oblicz obwód trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
Obliczamy obwód trójkąta ABC.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Twierdzenie 5. (okrąg opisany na trójkącie)
Pole trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem:
Przykład 5.
W trójkącie ABC dwa boki mają długość: 
, 
, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 
. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta wiedząc, że jego pole jest równe 
.
Rozwiązanie:
Obliczamy długość trzeciego boku trójkąta ABC.
Wiemy, że:
Otrzymujemy:
Twierdzenie 6. (Wzór Herona, trzy boki trójkąta)
Pole trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem:
– długości boków trójkąta ABC
– połowa obwodu trójkąta
– pole trójkąta
Przykład 6.
W trójkącie ABC dwa boki mają długość: 
, 
, 
. Oblicz pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
Obliczamy pole trójkąta ABC.
Wiemy, że:
