Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 7645
Podział trójkątów ze względu na boki:
- różnoboczne – wszystkie boki mają różne długości;
- równoramienne – co najmniej dwa boki mają taką samą długość;
- równoboczne – wszystkie boki mają tę samą długość.
Podział trójkątów ze względu na kąty:
- ostrokątne – mają wszystkie kąty ostre, czyli mniejsze niż 
;
- prostokątne – mają jeden kąt prosty, czyli równy i dwa kąty ostre, czyli mniejsze niż ;
- rozwartokątny – maja jeden kąt rozwarty, czyli większy niż i dwa kąty ostre, czyli mniejsze niż .
W trójkącie jeden z boków nazywamy podstawą, a dwa pozostałe ramionami. W przypadku trójkąta równoramiennego ramionami nazywamy boki mające tę samą długość.
W trójkącie prostokątnym boki zawarte w ramionach kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego przeciwprostokątną.
Twierdzenie 1
Jeśli boki trójkąta mają różne długości, to kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku ma największą miarę.
Twierdzenie 2
Jeśli kąty trójkąta mają różne miary, to bok leżący naprzeciw największego kąta ma największą długość.
Twierdzenie 3 (nierówność trójkąta)
W dowolnym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości boku trzeciego.
– boki trójkąta
Załóżmy, że:
Wiemy, że
wówczas:
Wniosek:
Najdłuższy bok trójkąta jest zawsze mniejszy od połowy obwodu tego trójkąta.
Twierdzenie 4 (odcinek łączący środki boków trójkąta)
Jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.
Przykład 1
W trójkącie ABC mamy dane: 
i 
a) Czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?
b) Czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od 37?
a) Czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?
Wiemy, że 
, zatem
Wniosek:
zatem
Trójkąt jest rozwartokątny ponieważ jeden z jego kątów ma miarę większą niż .
b) Czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od 37?
Wiemy, że 
jest największa w tym trójkącie, zatem bok leżący naprzeciwko tego kata ma największą długość (większą niż 13).
Otrzymujemy:
Obwód tego trójkąta jest większy od 37.
Przykład 2
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 
. Wyznacz miary pozostałych kątów tego trójkąta.
Mamy dwa przypadki:
Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 
.
Przypadek I:
Przypadek II:
Przykład 3
Wyznacz długości boków trójkąta, wiedząc, że są one liczbami naturalnymi i obwód tego trójkąta jest równy 11.
Wiemy, że:
- długości boków trójkąta są liczbami naturalnymi,
- suma dwóch boków trójkąta musi być dłuższa od długości trzeciego boku,
- najdłuższy bok trójkąta jest zawsze mniejszy od połowy obwodu tego trójkąta
Boki tego trójkąta mogą mieć zatem długość:
- Szczegóły
- Odsłon: 4703
Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że:
a) pozostają w stosunku 2:3:4;
b) trójkąt jest równoramienny i jeden z kątów ma miarę dwa razy większą od drugiego;
c) największy kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych, a kąt środkowy jest równy średniej arytmetycznej dwóch pozostałych kątów.
- Szczegóły
- Odsłon: 5367
Czy trójkąt ABC jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny? Odpowiedź uzasadnij.
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 3154
Jeden z kątów trójkąta jest równy różnicy dwóch pozostałych. Wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny.
- Szczegóły
- Odsłon: 3495
W trójkącie równoramiennym ABC dwusieczne kątów przy podstawie AB przecinają się w punkcie O. Wykaż, że jeśli 
, to trójkąt jest równoboczny.
- Szczegóły
- Odsłon: 4468
Czy można zbudować trójkąt o bokach mających długość:
a) 
b) 
, gdzie 
c) 
Odpowiedź uzasadnij.
- Szczegóły
- Odsłon: 2774
Wiadomo, że boki trójkąta mają długości a, a+1, a+2. Wykaż, że 
.
- Szczegóły
- Odsłon: 3784
Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 2 i 5. Wyznacz długość trzeciego boku, wiedząc, że bok ten leży naprzeciw największego kąta i jest liczbą naturalną.
- Szczegóły
- Odsłon: 3843
Dwa boki trójkąta różnobocznego mają długość 5 i 4. Trzeci bok leży naprzeciw najmniejszego kąta. Wiedząc, że obwód trójkąta jest liczbą naturalną, oblicz długość trzeciego boku.
- Szczegóły
- Odsłon: 4014
Boki trójkąta maja długość a, b, c. Oblicz obwód trójkąta powstałego w wyniku połączenia środków tych boków, jeśli:
a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm;
b) a + b + c = 10 cm.
- Szczegóły
- Odsłon: 3376
Punkty K, L, M są środkami boków odpowiednio AB, BC i AC trójkąta ABC.
Wykaż, że:
a) czworokąt AKLM jest równoległobokiem;
b) jeśli równoległobok AKLM jest rombem, to trójkąt ABC jest równoramienny.
- Szczegóły
- Odsłon: 2671
W trapezie ABCD, w którym 
, poprowadzono przekątną DB. Niech punkty K, L, M oznaczają odpowiednio środki odcinków AD, DB, BC. Wykaż, że:
a) punkty K, L, M są współliniowe;
b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC.