W trapezie ABCD, w którym , poprowadzono przekątną DB. Niech punkty K, L, M oznaczają odpowiednio środki odcinków AD, DB, BC. Wykaż, że:
a) punkty K, L, M są współliniowe;
b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC.
Rozwiązanie:
a) punkty K, L, M są współliniowe
Wiemy, że jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do trzeciego boku trójkąta, a jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.
W trapezie ABCD:
W trójkącie ABD:
W trójkącie DCB:
Zatem
Wiemy, że dwie proste mogą:
- mieć jeden punkt wspólny, nie są wówczas równoległe;
- nie mieć punktów wspólnych – proste równoległe;
- mieć wszystkie punkty wspólne – proste równoległe – pokrywają się.
Wiemy, że odcinki KL i LM są do siebie równoległe i mają punkt wspólny, zatem muszą być współliniowe.
b) długość odcinka KM jest średnią arytmetyczną długości podstaw AB i DC