Definicja 1.
Równaniem kwadratowym z niewiadomą x nazywamy równanie w postaci
, przy czym
są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz
.
Twierdzenie 1.
Równanie kwadratowe
, gdzie
oraz
:
- nie ma rozwiązań, wtedy i tylko wtedy, gdy
,
- ma jedno rozwiązanie
![]()
, wtedy i tylko wtedy, gdy
,
- ma dwa rozwiązania

, wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Przykład 1.
Rozwiąż równanie:
a)
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Wniosek:
, brak rozwiązań.
b)
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Wniosek:
, jedno rozwiązanie:
![]()
![]()
![]()
![]()
c)
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Wniosek:
, dwa rozwiązania:


![]()
![]()
![]()
Przykład 2.
Rozwiąż równanie:
a)
![]()
![]()
Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
b)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (różnica kwadratów):
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
g) ![]()
h) ![]()
i) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) ![]()
i) ![]()
Rozwiąż równania, stosując wzór na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b)![]()
c) ![]()
d) ![]()
e)![]()
f)![]()
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
Rozwiązaniami równania kwadratowego
są liczby
i
. Wyznacz b oraz c, wiedząc, że:
a) 
b) 
c) 
d) 
Jedynym rozwiązaniem równania
jest liczba
. Wyznacz b oraz c, wiedząc, że:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Rozwiąż graficznie równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Wyznacz wartość a tak, aby podana obok równania liczba była rozwiązaniem tego równania, jeśli:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a, równanie
ma rozwiązanie.
Wykaż, że jeśli
, gdzie
, to równanie
ma rozwiązanie.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a, równanie
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznacz to rozwiązanie.
Liczba 3 jest rozwiązaniem danego równania z niewiadomą x. Sprawdź, czy równanie ma jeszcze jedno rozwiązanie. Jeśli tak, to wyznacz to rozwiązanie.
a) ![]()
b) ![]()
Egzamin ósmoklasisty z matematyki
- zadania egzaminacyjne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do egzaminu ósmoklasisty z matematyki.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny egzaminu ósmoklasisty. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają się w dniu egzaminu około godziny 14: cke.gov.pl
Matematyka - egzamin ósmoklasisty:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
Matura z matematyki - zadania maturalne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do matury z matematyki - poziom podstawowy.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny matury podstawowej. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają sę w dniu egzaminu około godziny 14: CKE
Arkusze maturalne - poziom podstawowy:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2018 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2017 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2016 | pobierz | zobacz | zobacz |
tablice matematyczne 2023 - pobierz
tablice matematyczne - pobierz