Witaj w matzadanie!

Szczegóły

Odsłon: 356

      

 

Wzory redukcyjne pozwalają zapisać wartości funkcji trygonometrycznych pewnego kąta za pomocą wartości funkcji trygonometrycznych innego kąta (najczęściej mniejszego).

Twierdzenie 1.

Jeśli , to:

Twierdzenie 2.

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

Twierdzenie 3.

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

Twierdzenie 4.

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

, jeśli 

Przykład 1.

Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi:

a) 

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :

lub

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

, jeśli , zatem:

- z twierdzenia 3:

, jeśli , zatem:

b) 

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :

lub

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

, jeśli , zatem:

- z twierdzenia 3:

, jeśli , zatem:

c) 

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :

lub

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

, jeśli , zatem:

- z twierdzenia 3:

, jeśli , zatem:

d) 

Zauważamy, że:

lub

oraz

lub

otrzymujemy dwie możliwości rozwiązania zadania:

- pierwsze rozwiązanie

wówczas korzystając z twierdzenia 2 i twierdzenia 3:

, jeśli 

, jeśli , zatem:

- drugie rozwiązanie

wówczas korzystając z twierdzenia 3 i twierdzenia 2:

, jeśli 

, jeśli , zatem:

Wzory redukcyjne dla kąta  oraz dla kąta  pozwalają zastąpić wartości funkcji trygonometrycznych wartościami innych funkcji trygonometrycznych. Sinus dowolnego kąta może być wyrażony za pomocą funkcji cosinus i odwrotnie, podobnie tangens może być wyrażony za pomocą funkcji cotangens i odwrotnie.

Mówimy, że funkcja sinus jest kofunkcją dla funkcji cosinus i odwrotnie oraz funkcja tangens jest kofunkcją dla funkcji cotangens i odwrotnie.

Istnieje inny sposób, aby stosować wzory redukcyjne – bez użycia twierdzeń.

Możemy użyć następującej metody:

1. Zakładamy, że  jest kątem ostrym.

2. Sprawdzamy jaki znak ma rozpatrywane przez nas wyrażenie, a następnie zapisujemy go po prawej stronie równości.

3. Jeśli we wzorze występują nieparzyste wielokrotności kąta , czyli:

wówczas funkcja zmienia się na kofunkcję.

Jeśli we wzorze występują parzyste wielokrotności kąta , czyli:

wówczas funkcja pozostaje bez zmian.

Przykład 2.

Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi bez używania twierdzeń:

a) 

Zauważamy, że kąt o mierze  można zapisać w postaci:

lub

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:

otrzymujemy:

- drugie rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

otrzymujemy:

b) 

Zauważamy, że kąt o mierze  można zapisać w postaci:

lub

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

otrzymujemy:

- drugie rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:

otrzymujemy:

c) 

Zauważamy, że kąt o mierze  można zapisać w postaci:

lub

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

otrzymujemy:

- drugie rozwiązanie

Sprawdzamy znak funkcji  (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:

otrzymujemy: