Wzory redukcyjne pozwalają zapisać wartości funkcji trygonometrycznych pewnego kąta za pomocą wartości funkcji trygonometrycznych innego kąta (najczęściej mniejszego).
Twierdzenie 1.
Jeśli , to:
Twierdzenie 2.
, jeśli
, jeśli
, jeśli
, jeśli
Twierdzenie 3.
, jeśli
, jeśli
, jeśli
, jeśli
Twierdzenie 4.
, jeśli
, jeśli
, jeśli
, jeśli
Przykład 1.
Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi:
a)
Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :
lub
otrzymujemy:
- z twierdzenia 2:
, jeśli
, zatem:
- z twierdzenia 3:
, jeśli
, zatem:
b)
Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :
lub
otrzymujemy:
- z twierdzenia 2:
, jeśli
, zatem:
- z twierdzenia 3:
, jeśli
, zatem:
c)
Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze :
lub
otrzymujemy:
- z twierdzenia 2:
, jeśli
, zatem:
- z twierdzenia 3:
, jeśli
, zatem:
d)
Zauważamy, że:
lub
oraz
lub
otrzymujemy dwie możliwości rozwiązania zadania:
- pierwsze rozwiązanie
wówczas korzystając z twierdzenia 2 i twierdzenia 3:
, jeśli
, jeśli
, zatem:
- drugie rozwiązanie
wówczas korzystając z twierdzenia 3 i twierdzenia 2:
, jeśli
, jeśli
, zatem:
Wzory redukcyjne dla kąta oraz dla kąta
pozwalają zastąpić wartości funkcji trygonometrycznych wartościami innych funkcji trygonometrycznych. Sinus dowolnego kąta może być wyrażony za pomocą funkcji cosinus i odwrotnie, podobnie tangens może być wyrażony za pomocą funkcji cotangens i odwrotnie.
Mówimy, że funkcja sinus jest kofunkcją dla funkcji cosinus i odwrotnie oraz funkcja tangens jest kofunkcją dla funkcji cotangens i odwrotnie.
Istnieje inny sposób, aby stosować wzory redukcyjne – bez użycia twierdzeń.
Możemy użyć następującej metody:
1. Zakładamy, że jest kątem ostrym.
2. Sprawdzamy jaki znak ma rozpatrywane przez nas wyrażenie, a następnie zapisujemy go po prawej stronie równości.
3. Jeśli we wzorze występują nieparzyste wielokrotności kąta , czyli:
wówczas funkcja zmienia się na kofunkcję.
Jeśli we wzorze występują parzyste wielokrotności kąta , czyli:
wówczas funkcja pozostaje bez zmian.
Przykład 2.
Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi bez używania twierdzeń:
a)
Zauważamy, że kąt o mierze można zapisać w postaci:
lub
otrzymujemy:
- pierwsze rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:
otrzymujemy:
- drugie rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:
otrzymujemy:
b)
Zauważamy, że kąt o mierze można zapisać w postaci:
lub
otrzymujemy:
- pierwsze rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:
otrzymujemy:
- drugie rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:
otrzymujemy:
c)
Zauważamy, że kąt o mierze można zapisać w postaci:
lub
otrzymujemy:
- pierwsze rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:
otrzymujemy:
- drugie rozwiązanie
Sprawdzamy znak funkcji (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:
Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta zatem funkcja pozostaje bez zmian:
otrzymujemy: