Odwiedza nas 97  gości oraz 0 użytkowników.

yt Youtube      mail Kontakt     tw Twitter     fb Facebook     in Instagram

 

spolecznosc      wesprzyj

 

Wzory redukcyjne pozwalają zapisać wartości funkcji trygonometrycznych pewnego kąta za pomocą wartości funkcji trygonometrycznych innego kąta (najczęściej mniejszego).

Twierdzenie 1.

Jeśli image001, to:

image002

image003

image004

image005

Twierdzenie 2.

image006, jeśli image007

image008, jeśli image007

image009, jeśli image010

image011, jeśli image012

Twierdzenie 3.

image013, jeśli image014

image015, jeśli image014

image016, jeśli image017

image018, jeśli image019

Twierdzenie 4.

image020, jeśli image014

image021, jeśli image014

image022, jeśli image017

image023, jeśli image019

Przykład 1.

Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi:

a) image024

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze image025:

image026

lub

image027

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

image008, jeśli image007, zatem:

image028

- z twierdzenia 3:

image015, jeśli image014, zatem:

image029

b) image030

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze image031:

image032

lub

image033

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

image006, jeśli image007, zatem:

image034

- z twierdzenia 3:

image013, jeśli image014, zatem:

image035

c) image036

Zauważamy, że możemy skorzystać z dwóch twierdzeń zamieniając kąt o mierze image037:

image038

lub

image039

otrzymujemy:

- z twierdzenia 2:

image011, jeśli image012, zatem:

image040

- z twierdzenia 3:

image018, jeśli image019, zatem:

image041

d) image042

Zauważamy, że:

image043

lub

image044

oraz

image045

lub

image046

otrzymujemy dwie możliwości rozwiązania zadania:

- pierwsze rozwiązanie

image047

wówczas korzystając z twierdzenia 2 i twierdzenia 3:

image008, jeśli image007

image013, jeśli image014, zatem:

image048

- drugie rozwiązanie

image049

wówczas korzystając z twierdzenia 3 i twierdzenia 2:

image015, jeśli image014

image006, jeśli image007, zatem:

image050

Wzory redukcyjne dla kąta image051 oraz dla kąta image052 pozwalają zastąpić wartości funkcji trygonometrycznych wartościami innych funkcji trygonometrycznych. Sinus dowolnego kąta może być wyrażony za pomocą funkcji cosinus i odwrotnie, podobnie tangens może być wyrażony za pomocą funkcji cotangens i odwrotnie.

Mówimy, że funkcja sinus jest kofunkcją dla funkcji cosinus i odwrotnie oraz funkcja tangens jest kofunkcją dla funkcji cotangens i odwrotnie.

Istnieje inny sposób, aby stosować wzory redukcyjne – bez użycia twierdzeń.

Możemy użyć następującej metody:

1. Zakładamy, że image053 jest kątem ostrym.

2. Sprawdzamy jaki znak ma rozpatrywane przez nas wyrażenie, a następnie zapisujemy go po prawej stronie równości.

image054

3. Jeśli we wzorze występują nieparzyste wielokrotności kąta image055, czyli:

image056

wówczas funkcja zmienia się na kofunkcję.

Jeśli we wzorze występują parzyste wielokrotności kąta image055, czyli:

image057

wówczas funkcja pozostaje bez zmian.

Przykład 2.

Oblicz, posługując się wzorami redukcyjnymi bez używania twierdzeń:

a) image058

Zauważamy, że kąt o mierze image059 można zapisać w postaci:

image060

lub

image061

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

image062

Sprawdzamy znak funkcji image058 (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image063

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja pozostaje bez zmian:

image064

otrzymujemy:

image065

- drugie rozwiązanie

image066

Sprawdzamy znak funkcji image058 (III ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image067

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

image068

otrzymujemy:

image069

b) image070

Zauważamy, że kąt o mierze image071 można zapisać w postaci:

image072

lub

image073

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

image074

Sprawdzamy znak funkcji image070 (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image075

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

image076

otrzymujemy:

image077

- drugie rozwiązanie

image078

Sprawdzamy znak funkcji image070 (IV ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image079

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja pozostaje bez zmian:

image080

otrzymujemy:

image081

c) image036

Zauważamy, że kąt o mierze image037 można zapisać w postaci:

image082

lub

image083

otrzymujemy:

- pierwsze rozwiązanie

image084

Sprawdzamy znak funkcji image089 (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image085

Zauważamy, że mamy nieparzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja zmienia się na kofunkcję:

image086

otrzymujemy:

image087

- drugie rozwiązanie

image088

Sprawdzamy znak funkcji image089 (II ćwiartka układu współrzędnych) – znak jest ujemny, zatem zapisujemy go po prawej stronie równości:

image090

Zauważamy, że mamy parzystą wielokrotność kąta image055zatem funkcja pozostaje bez zmian:

image090

otrzymujemy:

image092